背包是dp中一类重要而特殊的模型，下面我们来学习一下其中的几个典型模型。
一、0/1背包
0
/
1
0/1
0/1背包问题的模型如下：
给定N个物品，其中第
i
i
i个物品的体积为
V
i
V_{i}
Vi，价值为
W
i
W_{i}
Wi。有一个容积为M的背包，要求选择一些物品放入背包，使得物品总体积不超过M的前提下，物品的价值总和最大。
对于
0
/
1
0/1
0/1背包问题，我们用
f
(
i
,
j
)
f(i,j)
f(i,j)表示从前
i
i
i个物品中选出了总体积为
j
j
j的物品放入背包，物品的最大价值和。容易得到其状态转移方程：
f
(
i
,
j
)
=
m
a
x
(
f
(
i
−
1
,
j
)
,
f
(
i
−
1
,
j
−
v
i
)
+
w
i
)
f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i-1,j-v_{i})+w_{i})
f(i,j)=max(f(i−1,j),f(i−1,j−vi)+wi)
下面我们来看两道例题。
1、洛谷 P1048 [NOIP2005 普及组] 采药
题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1048
题目思路：emmm其实这是一道非常裸的0/1背包问题，就用上面的状态转移方程即可，代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1001;
int t,m;
int v[maxn],w[maxn],dp[maxn];
int main()
{
cin>>t>>m;
for(int i=1;i<=m;i++)
cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=m;i++)
for(int j=t;j>=v[i];j--)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
cout<<dp[t]<<endl;
return 0;
}
2、AcWing 278. 数字组合
题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/280/
题目思路：这也是一道非常裸的0/1背包问题，首先我们用二维数组来表示状态转移方程：
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<=m;j++)
{
dp[i][j]=dp[i-1][j];
if(j>=a[i])
dp[i][j]+=dp[i-1][j-a[i]];
}
}
在上述状态转移方程中只涉及到了 i − 1 和 j − a [ i ] i-1和j-a[i] i−1和j−a[i]，由此我们可以对其使用滚动数组进行优化，得 d p [ j ] + = d p [ j − a [ i ] ] dp[j]+=dp[j-a[i]] dp[j]+=dp[j−a[i]]，代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e4+1;
int a[maxn],dp[maxn];
int n,m;
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>a[i];
dp[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=m;j>=a[i];j--)
dp[j]+=dp[j-a[i]];
cout<<dp[m]<<endl;
return 0;
}
二、完全背包
完全背包问题的模型如下：
给定
N
N
N种物品，其中第
i
i
i种物品的体积为
V
i
V_{i}
Vi，价值为
W
i
W_{i}
Wi，并且有无数个。有一容积为
M
M
M的背包，要求选择若干个物品放入背包，使得物品总体积不超过
M
M
M的前提下，物品的价值总和最大。
其实完全背包问题就是为0/1背包问题解除了只能选一次的限制，我们直接从例题入手。
1、洛谷 P1616 疯狂的采药
题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1616
题目思路：容易得到状态转移方程：
d
p
[
j
]
=
m
a
x
(
d
p
[
j
]
,
d
p
[
j
−
w
[
i
]
]
+
v
[
i
]
)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i])
dp[j]=max(dp[j],dp[j−w[i]]+v[i])
AC代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll dp[10000001],t,m,w[10001],v[10001];
int main()
{
cin>>t>>m;
for(int i=1;i<=m;i++)
scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
for(int i=1;i<=m;i++)
for(ll j=w[i];j<=t;j++)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
cout<<dp[t]<<endl;
return 0;
}
2、AcWing 279. 自然数拆分
题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/281/
题目思路：这里我们把背包容量看成
n
n
n，总共有
n
−
1
n-1
n−1个物品，每件物品的价值就是数字本身，按照完全背包的状态转移方程即可解决本问题。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=2147483648;
const int maxn=4001;
int n;
ll dp[maxn];
int main()
{
cin>>n;
dp[0]=1;
for(int i=1;i<n;i++)
for(int j=i;j<=n;j++)
dp[j]=(dp[j]+dp[j-i])%mod;
cout<<dp[n]<<endl;
return 0;
}
三、多重背包
多重背包问题的模型如下：
给定
N
N
N种物品，其中第
i
i
i种物品的体积为
V
i
V_{i}
Vi，价值为
W
i
W_{i}
Wi，并且有
C
i
C_{i}
Ci个。有一容积为
M
M
M的背包，要求选择若干个物品放入背包，使得物品总体积不超过
M
M
M的前提下，物品的价值总和最大。
对于多重背包问题，我们最常用的方法就是二进制拆分法，下面我们来认识一下什么是二进制拆分法。
二进制拆分法
从
2
0
,
2
1
,
2
2
,
.
.
.
,
2
k
−
1
2^{0},2^{1},2^{2},...,2^{k-1}
20,21,22,...,2k−1，这
k
k
k个
2
2
2的整数次幂中选出若干个相加，可以表示出
0
0
0~
2
k
−
1
2^{k-1}
2k−1之间的任何整数。进一步地，我们求出满足
2
0
+
2
1
+
.
.
.
+
2
p
≤
C
i
2^{0}+2^{1}+...+2^{p}\leq C_{i}
20+21+...+2p≤Ci的最大整数
p
p
p，设
R
i
=
C
i
−
2
0
−
2
1
−
.
.
.
−
2
p
R_{i}=C_{i}-2^{0}-2^{1}-...-2^{p}
Ri=Ci−20−21−...−2p，那么：
1、根据
p
p
p的最大性，有
2
0
+
2
1
+
.
.
.
+
2
p
+
1
>
C
i
2^{0}+2^1+...+2^{p+1}>C_i
20+21+...+2p+1>Ci，可推出
2
p
+
1
>
R
i
2^{p+1}>R_i
2p+1>Ri，因此
2
0
,
2
1
,
.
.
.
,
2
p
2^0,2^1,...,2^p
20,21,...,2p选出若干个相加可以表示出
0
0
0~
R
i
R_i
Ri之间的任何整数。
2、从
2
0
,
2
1
,
.
.
.
2
p
2^0,2^1,...2^p
20,21,...2p以及
R
i
R_i
Ri中选出若干个相加，可以表示出
R
i
R_i
Ri~
R
i
+
2
p
+
1
−
1
R_i+2^{p+1}-1
Ri+2p+1−1之间的任何整数，而根据
R
i
R_i
Ri的定义，
R
i
+
2
p
+
1
−
1
=
C
i
R_i+2^{p+1}-1=C_i
Ri+2p+1−1=Ci，因此
2
0
,
2
1
,
.
.
.
2
p
,
R
i
2^0,2^1,...2^p,R_i
20,21,...2p,Ri中选出若干个相加可以表示出
R
i
R_i
Ri ~
C
i
C_i
Ci之间的任何整数。
综上所述，我么可以把数量为
C
i
C_i
Ci的第
i
i
i种物品拆成
p
+
2
p+2
p+2个物品，它们的体积分别为：
2
0
∗
V
i
,
2
1
∗
V
i
,
.
.
.
,
2
p
∗
V
i
,
R
i
∗
V
i
2^0*V_i,2^1*V_i,...,2^p*V_i,R_i*V_i
20∗Vi,21∗Vi,...,2p∗Vi,Ri∗Vi
这
p
+
2
p+2
p+2个物品可以凑成
0
0
0~
C
i
∗
V
i
C_i*V_i
Ci∗Vi之间所有能被
V
i
V_i
Vi整除的数，并且不能凑成大于
C
i
∗
V
i
C_i*V_i
Ci∗Vi的数。这等价于原问题中体积为
V
I
V_I
VI的物品可以使用
0
0
0 ~
C
i
C_i
Ci次。该方法把每种物品拆成了
O
(
l
o
g
C
i
)
O(logC_i)
O(logCi)个，效率较高。
（上述方法摘自《算法竞赛进阶指南》）
下面我们来看两道多重背包的经典例题
1、洛谷 P1776 宝物筛选
题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1776
题目思路：本题的题意非常直接，就是多重背包问题，但仔细一看数据量会发现用直接拆分法会超时，所以我们采用二进制拆分法来进行优化，根据上面讲述的二进制拆分法，不难解决此问题。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e6+1;
int v[maxn],w[maxn],dp[maxn];
int n,W;
int cnt=1;
int main()
{
cin>>n>>W;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int a,b,c;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
for(int j=1;j<=c;j<<=1)
{
v[++cnt]=j*a,w[cnt]=j*b;
c-=j;
}
if(c)
v[++cnt]=a*c,w[cnt]=b*c;
}
for(int i=1;i<=cnt;i++)
for(int j=W;j>=w[i];j--)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
cout<<dp[W]<<endl;
return 0;
}
四、分组背包
分组背包问题的模型如下：
给定
N
N
N个物品，其中第
i
i
i组有
C
i
C_i
Ci个物品。第
i
i
i组的第
j
j
j个物品的体积为
V
i
j
V_{ij}
Vij，价值为
W
i
j
W_{ij}
Wij。有一容积为
M
M
M的背包，要求选择若干个物品放入背包，使得每组至多选择一个物品并且物品总体积不超过
M
M
M的前提下，物品的价值总和最大。
分组背包其实就是在
0
/
1
0/1
0/1背包的基础上，每个物品属于一个组，每组中的物品是互斥的。考虑把每个组当成一个“物品”，可以取其中的一个或者不取。设
f
(
i
,
j
)
f(i,j)
f(i,j)表示对于前
i
i
i组物品，使用容量为
j
j
j的背包，可以装的最大价值。容易得到状态转移方程：
f
(
i
,
j
)
=
m
a
x
(
f
(
i
−
1
,
j
)
,
f
(
i
−
1
,
j
−
w
k
)
+
v
k
)
f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i-1,j-w_k)+v_k)
f(i,j)=max(f(i−1,j),f(i−1,j−wk)+vk)
下面我们来看一道例题
1、洛谷 P1757 通天之分组背包
题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1757
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e6+1;
int v[maxn],w[maxn],dp[1005][1005],cnt[maxn],f[maxn];
int n,m,x,num;
int main()
{
cin>>m>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d%d",&w[i],&v[i],&x);
num=max(x,num);
++cnt[x];//表示第几组一共有几种物品
dp[x][cnt[x]]=i;//第x组背包的第几种的物品的下标
}
for(int k=1;k<=num;k++)
{
for(int j=m;j>=0;j--)
{
for(int i=1;i<=cnt[k];i++)
{
int px=dp[k][i];
if(j>=w[px])
f[j]=max(f[j-w[px]]+v[px],f[j]);
}
}
}
cout<<f[m]<<endl;
return 0;
}
最后留两道比较有挑战性的背包问题供大家练习：
https://www.acwing.com/problem/content/282/
https://www.acwing.com/problem/content/283/
