区间修改 & 查询

文章目录

• 区间修改 & 查询
• • • 树状数组
    • • 存储原理
      • $2^k$求值（lowbit）
      • Code
      • • 单点修改
        • 区间查询
      • 例题
    • 线段树
    • • 储存原理
      • Code
      • • 结构
        • 构造
        • PushDown
        • 区间修改
        • 单点查询
      • 例题
    • ST表
    • • 储存原理
      • Code
      • • 构造
        • 查询
      • 例题

树状数组

优势：单点修改，区间查询

时间复杂度：$O({\log }_n)$

存储原理

• A：原数组
• C：构造数组
• 对于每一个C [i]，共存$2^k$个元素，k为i二进制下末尾0的个数

$$\begin{gathered} C[1(1)]=A[1] \\ C[2(10)]=A[1]+A[2] \\ C[3(11)]=A[3] \\ C[4(100)]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4] \\ C[5(101)]=A[5] \\ C[6(110)]=A[5]+A[6] \\ C[7(111)]=A[7] \\ C[8(1000)]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8] \\ \dots \dots \\ C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+\dots \dots +A[i] \end{gathered}$$

$2^k$求值（lowbit）

$$2^k=i\&(-i)$$

• x = 0， 0 & 0 = 0
• x 为奇数，x & (-x) = 1
• x 为偶数，且恰好为$2^n$，则x & (-x) = x
• x 为偶数，但不为$2^n$，则x = y * (2 ^ k) 。本质是把x用一奇数左移k位，因此x & (-x) = 2 ^ k
• x 为偶数，结果为x中2的最大次方的因子，即lowbit，取2 ^ k

Code

单点修改

// x点加上v，维护C
void ADD (int x,int v)
{
    while (x <= n)
    {
        c [x] += v;
        x += lowbit (x);
    }
}

// 构造
for (int i = 1;i <= n;i ++)
{
    cin >> data;
    ADD (i,data);
}

区间查询

// 查询[1,x]和
int SUM (int x)
{
    int res;
    while (x)
    {
        res += c [x];
        x -= lowbit (x);
    }
    return res;
}
// 查询[l,r]和
res = SUM (r) - SUM (l - 1);

例题

P3374 【模板】树状数组 1 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

线段树

优势：区间修改，单点查询

时间复杂度：${\log }_n$

储存原理

• 二叉搜索树
• tr [i].sum = tr [i * 2],sum + tr [i * 2 + 1].sum 结点 = 左子树 + 右子树
• n >= 3时[1,n]的线段树可将[1,n]的任意子区间[L,R]分解为不超过$2[{\log }_2(n-1)]$个子区间

Code

结构

struct TREE 
{
    int l,r,dat; // 左，右，和
    int lz;		 // lazytag
};
TREE tr [10001];

// 左子树
inline int TL(long long x)
{
	return x << 1;
}
// 右子树
inline int TR(long long x)
{
	return x << 1 | 1;
}

构造

// 起始点，左，右
void Build(long long i, long long l, long long r)
{
	tr[i].l = l;
	tr[i].r = r;
	if (l == r) // 为叶子节点，直接赋值
	{
		tr[i].dat = a[l];
		return;
	}
	long long mid = (l + r) >> 1;
    // Left
	Build(TL(i), l, mid);
    // Right
	Build(TR(i), mid + 1, r);
    
	tr[i].dat = tr[TL(i)].dat + tr[TR(i)].dat;
}

PushDown

• 快速传递数据下去

void PushDown(long long i)
{
	if (tr[i].lz)
	{
		tr[TL(i)].lz += tr[i].lz;
		tr[TR(i)].lz += tr[i].lz;

		tr[TL(i)].dat += tr[i].lz * (tr[TL(i)].r - tr[TL(i)].l + 1);
		tr[TR(i)].dat += tr[i].lz * (tr[TR(i)].r - tr[TR(i)].l + 1);
		tr[i].lz = 0;
	}
}

区间修改

void Add (int i, int l, int r, int val)
{
	if (tr[i].l >= l && tr[i].r <= r)
	{
		tr[i].dat += val * (tr[i].r - tr[i].l + 1);
		tr[i].lz += val;
		return;
	}
	PushDown(i);
	long long mid = (tr[i].l + tr[i].r) >> 1;
	if (l <= mid) Add(TL(i), l, r, val);
	if (r > mid) Add(TR(i), l, r, val);
	tr[i].dat = tr[TL(i)].dat + tr[TR(i)].dat;
}

单点查询

int Find(int i, int pos)
{
	if (tr[i].l == pos && tr[i].r == pos)
		return tr[i].dat;
	PushDown(i);
	long long mid = (tr[i].l + tr[i].r) >> 1;
	if (pos <= mid) return Find(TL(i), pos);
	if (pos > mid) return Find(TR(i), pos);
}

例题

https://www.luogu.com.cn/problem/P3368

ST表

优势：区间求最值（RMQ）

储存原理

• 倍增思想
• f [i][j]表示从i位置开始的$2^j$个数中的最大值
• 转移时可把点股权区间拆解成两个区间并分别取最大值：f [i] [j] = max (f [i] [j - 1], f [i + 2 ^ (j - 1)] [j - 1])；
• 设原数组为a [N]，开辟的f [N][31]表示从i位置开始的$2^j$个数中的最大值
• f [i][0]表示元素本身，可初始化为f [i][0] = a [i]

Code

构造

void build ()
{
    // 直接赋值
	for (int i = 1;i <= n;i ++) 
		f [i][0] = a [i];
    
	for (int j = 1;j <= 30;j ++)
		for (int i = 1;i + (1 << j) - 1 <= n;i ++)
			f [i][j] = max (f [i][j - 1],f [i + (1 << (j - 1))][j - 1]); // 分别取最大值
}

查询

1. 计算2 ^ k <= r - l + 1的k
2. 左端点和右端点分别查询，保证一定覆盖区间
3. 结果为max (f [L][k], f [R - 2 ^ k][k])

int RMQ (int l,int r)
{
	int k = log2 (r - l + 1);
	return max (f [l][k],f [r - (1 << k) + 1][k]);
}

例题

P3865 【模板】ST 表 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)