拓端数据tecdat|R语言贝叶斯推断与MCMC：实现Metropolis-Hastings 采样算法示例

示例1：使用MCMC的指数分布采样

任何MCMC方案的目标都是从“目标”分布产生样本。在这种情况下，我们将使用平均值为1的指数分布作为我们的目标分布。所以我们从定义目标密度开始：

1.  target = function(x){
2.  if(x<0){
3.  return(0)}
4.  else {
5.  return( exp(-x))
6.  }
7.  }

定义了函数之后，我们现在可以用它来计算几个值（只是为了说明函数的概念）：

target(1)

[1] 0.3678794

target(-1)

[1] 0

接下来，我们将规划一个Metropolis-Hastings方案，从与目标成比例的分布中进行抽样

1.  x[1] = 3 #这只是一个起始值，我设置为3
2.  for(i in 2:1000){
3.  A = target(proposedx)/target(currentx)
4.  if(runif(1)<A){
5.  x[i] = proposedx # 接受概率min（1，a）
6.  } else {
7.  x[i] = currentx #否则“拒绝”行动，保持原样
8.  }

注意，x是马尔可夫链的实现。我们可以画几个x的图：

我们可以将其封装在一个mcmc函数中，以使代码更整洁，这样更改起始值和提议分布更容易

1.   
2.  for(i in 2:niter){
3.  currentx = x[i-1]
4.  proposedx = rnorm(1,mean=currentx,sd=proposalsd)
5.  A = target(proposedx)/target(currentx)
6.  if(runif(1)<A){
7.  x[i] = proposedx # 接受概率min（1，a）
8.  } else {
9.  x[i] = currentx # 否则“拒绝”行动，保持原样
10.  }

现在我们将运行MCMC方案3次，看看结果有多相似：

1.  z1=MCMC(1000,3,1)
2.  z2=MCMC(1000,3,1)
3.  z3=MCMC(1000,3,1)
4.   
5.  plot(z1,type="l")

1.  par(mfcol=c(3,1)) #告诉R将3个图形放在一个页面上
2.   
3.  hist(z1,breaks=seq(0,maxz,length=20))

练习

使用函数easyMCMC了解以下内容：

1. 不同的起始值如何影响MCMC方案？
2. 较大/较小的提案标准差有什么影响？
3. 尝试将目标函数更改为
4.  target = function(x){
5.   
6.  return((x>0 & x <1) + (x>2 & x<3))
7.  }

这个目标看起来像什么？如果提议sd太小怎么办？（例如，尝试1和0.1）

例2：估计等位基因频率

在对双等位基因座的基因型（如具有AA和AA等位基因的基因座）进行建模时，一个标准的假设是群体是“随机”的。这意味着如果p是等位基因AA的频率，那么基因型

和

将分别具有频率

和

。p一个简单的先验是假设它在[0,1]上是均匀的。 假设我们抽样n个个体，观察

基因型

、

基因型

和基因型

。

下面的R代码给出了一个简短的MCMC例程，可以从p的后验分布中进行采样。请尝试遍历该代码，看看它是如何工作的。

1.  prior = function(p){
2.  if((p<0) || (p>1)){ # || 这里意思是“或”
3.  return(0)}
4.  else{
5.  return(1)}
6.  }
7.   
8.  likelihood = function(p, nAA, nAa, naa){
9.  return(p^(2*nAA) * (2*p*(1-p))^nAa * (1-p)^(2*naa))
10.  }
11.   
12.  psampler = function(nAA, nAa, naa){
13.   
14.  for(i in 2:niter){
15.   
16.  if(runif(1)<A){
17.  p[i] = newp # 接受概率min（1，a）
18.  } else {
19.  p[i] = currentp # 否则“拒绝”行动，保持原样
20.  }

对

运行此样本。

现在用一些R代码来比较后验样本和理论后验样本（在这种情况下可以通过分析获得；因为我们观察到121个As和79个as，在200个样本中，p的后验样本是β（121+1,79+1）。

1.   
2.  hist(z,prob=T)
3.  lines(x,dbeta(x,122, 80)) # 在直方图上叠加β密度

您也可能希望将前5000 z的值丢弃为“burnin”（预烧期）。这里有一种方法，在R中仅选择最后5000 z

hist(z[5001:10000])

练习

研究起点和提案标准偏差如何影响算法的收敛性。

例3：估计等位基因频率和近交系数

一个复杂一点的替代方法是假设人们有一种倾向，即人们会与比“随机”关系更密切的其他人近交（例如，在地理结构上的人口中可能会发生这种情况）。一个简单的方法是引入一个额外的参数，即“近亲繁殖系数”f，并假设

和

基因型有频率

和

。

在大多数情况下，将f作为种群特征来对待是很自然的，因此假设f在各个位点上是恒定的。

请注意，f和p都被约束为介于0和1之间（包括0和1）。对于这两个参数中的每一个，一个简单的先验是假设它们在[0,1]上是独立的。 假设我们抽样n个个体，观察

基因型

、

基因型

和基因型

。

练习：

• 编写一个短的MCMC程序，从f和p的联合分布中取样。

1.  sampler = function(){
2.   
3.  f[1] = fstartval
4.  p[1] = pstartval
5.  for(i in 2:niter){
6.  currentf = f[i-1]
7.  currentp = p[i-1]
8.  newf = currentf +
9.  newp = currentp +
10.   
11.  }
12.  return(list(f=f,p=p)) # 返回一个包含两个名为f和p的元素的“list”
13.  }

• 使用此样本获得f和p的点估计（例如，使用后验平均数）和f和p的区间估计（例如，90%后验置信区间），数据：

附录：GIBBS采样

您也可以用Gibbs采样器解决这个问题 

为此，您将想要使用以下“潜在变量”表示模型：

将zi相加得到与上述相同的模型: