线段树写法总结

线段树

• N是题目给的最大区间,而节点数要开 4 倍,确切的来说节点数要开大于 maxn 的2^x的两倍
• lson 和 rson 分辨表示结点的左儿子和右儿子,由于每次传参数的时候都固定是这几个变量,所以可以用预定于比较方便的表示
• 以前的写法是另外开两个个数组记录每个结点所表示的区间,其实这个区间不必保存,一边算一边传下去就行,只需要写函数的时候多两个参数,结合 lson 和 rson 的预定义可以方
  便
• pushup(int rt)是把当前结点的信息更新到父结点-
• pushdown(int rt)是把当前结点的信息更新给儿子结点
• rt 表示当前子树的根(root),也就是当前所在的结点

操作

1、单点修改

最最基础的线段树,只更新叶子节点,然后把信息用 pushup(int rt)这个函数更新上来

例：​​hdu1166 敌兵布阵​​​ 题意：点修改，求区间和
pushup函数作用为求和

#include <bits/stdc++.h>
#define lson l, m, rt<<1
#define rson m+1, r, rt<<1|1
using namespace std;
const int N = 5e4 + 10;

int t, n;
int tr[N << 2];

void pushup(int rt)
{
    tr[rt] = tr[rt << 1] + tr[rt << 1 | 1];
}

void build(int l, int r, int rt)
{
    if(l == r){
        scanf("%d", &tr[rt]);
        return;
    }
    int m = l + r >> 1;
    build(lson);
    build(rson);
    pushup(rt);
}

void update(int p, int add, int l, int r, int rt)
{
    if(l == r){
        tr[rt] += add;
        return;
    }
    int m = l + r >> 1;
    if(p <= m)
        update(p, add, lson);
    else
        update(p, add, rson);
    pushup(rt);
}

int query(int L, int R, int l, int r, int rt)
{
    if(L <= l && r <= R){
        return tr[rt];
    }
    int m = l + r >> 1;
    int ans = 0;
    if(L <= m)
        ans += query(L, R, lson);
    if(R > m)
        ans += query(L, R, rson);
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d", &t);
    for(int cas = 1, a, b; cas <= t; cas++){
        printf("Case %d:\n", cas);
        scanf("%d", &n);
        build(1, n, 1);
        char op[10];
        while(scanf("%s", op)){
            if(op[0] == 'E')
                break;
            scanf("%d%d", &a, &b);
            if(op[0] == 'Q'){
                printf("%d\n", query(a, b, 1, n, 1));
            }else if(op[0] == 'S'){
                update(a, -b, 1, n, 1);
            }else{
                update(a, b, 1, n, 1);
            }
        }
    }
    return 0;
}

2、区间修改

需要用到延迟标记(或者说懒惰标记),简单来说
就是每次更新的时候不要更新到底,用延迟标记使得更新延迟到下次需要更新 or 询问到的
时候

例：​​hdu1698 Just a Hook​​​ update:成段替换
题意：区间求改成1， 2，3，最后区间求和。
由于只 query 一次总区间,所以可以直接输出 1 结点的信息

#include <bits/stdc++.h>
#define lson l, m, rt<<1
#define rson m+1, r, rt<<1|1
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
const int N = 1e5 + 10;

int t, n, q;
int tr[N<<2], col[N<<2];

void pushup(int rt)
{
    tr[rt] = tr[rt << 1] + tr[rt << 1 | 1];
}

void pushdown(int rt, int m)
{
    if(col[rt]){
        col[rt << 1] = col[rt << 1 | 1] = col[rt];  //下方懒惰标记
        tr[rt << 1] = (m - (m >> 1)) * col[rt];       //更新tr
        tr[rt << 1 | 1] = (m >> 1) * col[rt];
        col[rt] = 0;        //清楚当前节点懒惰标记
    }
}

void build(int l, int r, int rt)
{
    tr[rt] = 1;
    col[rt] = 0;
    if(l == r)
        return;
    int m = l + r >> 1;
    build(lson);
    build(rson);
    pushup(rt);
}

void update(int L, int R, int c, int l, int r, int rt)
{
    if(L <= l && r <= R){
        col[rt] = c;
        tr[rt] = c * (r - l + 1);
        return;
    }
    pushdown(rt, r - l + 1);
    int m = l + r >> 1;
    if(L <= m)
        update(L, R, c, lson);
    if(R > m)
        update(L, R, c, rson);
    pushup(rt);
}


int main()
{
    scanf("%d", &t);
    for(int cas = 1, a, b, c; cas <= t; cas++){
        scanf("%d%d", &n, &q);
        build(1, n, 1);
        while(q--){
            scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
            update(a, b, c, 1, n, 1);
        }
        printf("Case %d: The total value of the hook is %d.\n", cas, tr[1]);
    }
    return 0;
}

3、区间合并

这类题目会询问区间中满足条件的连续最长区间,所以 PushUp 的时候需要对左右儿子的
区间进行合并

例：​​poj3667 Hotel​​​ 题意:
1 - n的空房间
1 a ：询问是不是有连续长度为 a 的空房间,有的话住进最左边，输出左端点。
2 a b：将[a,a+b-1]的房间清空。
思路:记录区间中最长的空房间
线段树操作:update:区间替换 query:询问满足条件的最左断点

参考
​javascript:void(0)​​

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define d(x) cout << (x) << endl
#define lson l, m, rt<<1
#define rson m+1, r, rt<<1|1
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
const int N = 5e4 + 10;

int n, m;
int tr[N << 2];     //记录区间中最长的空房间
int ltr[N << 2];    //区间从左端点开始可用最大长度
int rtr[N << 2];    //区间从有端点开始可用最大长度
int laz[N << 2];    

void pushdown(int rt, int m)
{
    if(laz[rt] != -1){
        laz[rt << 1] = laz[rt << 1 | 1] = laz[rt];
        tr[rt<<1] = ltr[rt<<1] = rtr[rt<<1] = laz[rt] ? 0 : m - (m >> 1);
        tr[rt<<1|1] = ltr[rt<<1|1] = rtr[rt<<1|1] = laz[rt] ? 0 : (m >> 1);
        laz[rt] = -1;
    }
}
void pushup(int rt, int m)
{
    ltr[rt] = ltr[rt << 1]; //左可用长度ltr最起码等于左儿子的ltr
    rtr[rt] = rtr[rt << 1 | 1];
    if(ltr[rt] == m - (m>>1))   //如果左儿子都可用，再加上右儿子的
        ltr[rt] += ltr[rt << 1|1];
    if(rtr[rt] == (m>>1))
        rtr[rt] += rtr[rt << 1];
    tr[rt] = max(ltr[rt << 1 | 1] + rtr[rt << 1], max(tr[rt << 1], tr[rt << 1 | 1]));
}
void build(int l, int r, int rt)
{
    tr[rt] = ltr[rt] = rtr[rt] = r - l + 1;
    laz[rt] = -1;
    if(l == r){
        return;
    }
    int m = l + r >> 1;
    build(lson);
    build(rson);
}
void update(int L, int R, int c, int l, int r, int rt)
{
    if(L <= l && r <= R){
        tr[rt] = ltr[rt] = rtr[rt] = c ? 0 : r - l + 1;
        laz[rt] = c;
        return;
    }
    pushdown(rt, r - l + 1);
    int m = l + r >> 1;
    if(L <= m)
        update(L, R, c, lson);
    if(m < R)
        update(L, R, c, rson);
    pushup(rt, r - l + 1);
}
int query(int w, int l, int r, int rt)
{
    if(l == r){
        return l;
    }
    pushdown(rt, r - l + 1);
    int m = l + r >> 1;
    if(tr[rt<<1] >= w)      //优先考虑左边，中间，右边
        return query(w, lson);
    else if (ltr[rt<<1|1] + rtr[rt<<1] >= w)
        return m - rtr[rt << 1] + 1;
    return query(w, rson);
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    build(1, n, 1);
    while(m--){
        int op, a, b;
        scanf("%d", &op);
        if(op == 1){
            scanf("%d", &a);
            if(tr[1] < a){  //住不进去
                puts("0");
            }else{
                int q = query(a, 1, n, 1);
                printf("%d\n", q);
                update(q, q + a - 1, 1, 1, n, 1);
            }
        }else{
            scanf("%d%d", &a, &b);
            update(a, a + b - 1, 0, 1, n, 1);
        }
    }
    return 0;
}