线性递推与 Cayley - Hamilton 定理的简要证明

• 引言：本篇对 领域 - “线性递推” 中用的重要定理
• 符号规定， 表示矩阵 的行列式， 表示 元的代数余子式， 表示 的伴随矩阵， 根据定义我们知道
• 特征多项式：
  定义：设 是 阶矩阵，如果数 和 维向量 使关系式
  
  成立，那么这样的 称为矩阵 的特征值， 称为对应于特征值的特征向量
  上式也可以写作：
  那么我们知道， 有非零解当且仅当
  
  即
  
  容易发现，上式是一个关于 的 次方程，称为矩阵 的特征方程， 为特征多项式，注意到这个方程有 个解（重根算多个，可以为复数），不妨定为 ，那么显然
• ： 定理
  定理：令 为一个关于 的矩阵多项式，其系数等于多项式 的各项系数，那么
  我们先感性理解一下正确性，对于我们熟知的斐波那契递推矩阵
  
  那么根据 定理
  
  尝试证明：
  我们令
  那么有
  
  对于 ，其每一项 均是由 的 次多项是构成的，那么我们可以将 写成一个关于 的，系数为 阶矩阵的多项式
  
  于是 式，左边为
  
  右边（我们令 ）
  
  观察 的系数
  
  对第二个式子同时右乘 ，第三个式子同时右乘 依此类推
  
  左边相加右边相加得
  
  即
  通过将矩阵化成多项式并比对各项系数巧妙化简最后将系数整合，太美了！
• ：线性递推
  矩阵优化递推的核心就是求出 ，那么我们发现
  的各项系数可以由 对 多项式快速幂 + 多项式取模得到
  令初始向量为 ，那么我们要求的就是 （令 的系数为 ）
  
  下标 表示的是向量的第一个元素，那么 是已知的
  那么我们可以

应用资料：
同济大学《线性代数》
​​​Cayley-Hamilton 定理的一個代數證明方法​​

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