二分

• 概念
• 整数二分
• • 题目
• 实数二分
• • 题目

概念

   二分查找(折半查找)是最早接触二分的开始。在二分查找中，为了提高效率，每次查找总数的一半，每一次都从中间开始查找。

• 优点
  比较次数少，检索速度块
• 缺点
  只适用于有序的数据

能二分的一定具有单调性

   在更多情况下的二分，分为两类：整数和实数，区别就是是否考虑中点归属问题

对于所有二分有以下性质：理论
（1）：确定一个(答案)区间，使目标值一定在区间中
（2）：找一个判断条件，满足：
 1.判断条件具有二段性
 2.答案是二段性的分界点

整数二分

整数二分有个中点归属问题，属于左边和属于右边是不同的情况

整数二分步骤：

1. 找一个区间[L，R]，使得答案一定在该区间中
2. 找一个判断条件，使得该判断条件具有二段性，并且答案一定是该二段性的分界点。
3. 分析终点M在该判断条件下是否成立，如果成立，考虑答案在哪个区间;如果不成立，考虑答案在哪个区间;
4. 如果更新方式写的是R= Mid，则不用做任何处理;如果更新方式写的是L= Mid，则需要在计算Mid时加上1。

二分的关键tips：判断条件写 带有大于等于的

整数二分模板

int bsearch_1(int l, int r)//下取整
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;//下取整
        if (check(mid)) r = mid;//check是判断条件
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

int bsearch_2(int l, int r)//上取整
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;//上取整
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

多做几道题就明白了

题目

练习题
789. 数的范围(模板题) 入门题

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int n, q;
int num[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &q);

    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        scanf("%d", &num[i]);
    }

    while (q--)
    {
        int k;
        scanf("%d", &k);
        //先找左边的区间
        int l = 0, r = n - 1;
        //左边的端点  也就是k 的开始位置 
        //找的正是 大于等于k 的第一个位置 
        while (l < r)
        {
            int mid = l + r >> 1; //位运算 相当于除二
            if (num[mid] >= k)
                r = mid;
            else
                l = mid + 1;
        }

        if (num[r] == k)
        {
            cout << r << " ";
            r = n - 1;
            //右边端点 找的是 小于等于k 的第一个位置
            //右端点的 右边所有值  都是严格小于等于x的 左边的值是严格大于x的
            while (l < r)
            {
                int mid = l + r + 1 >> 1; //位运算 相当于除二
                if (num[mid] <= k)
                    l = mid;
                else
                    r = mid - 1;
            }
            cout << r << endl;
        }
        else
            cout << "-1 -1" << endl;
    }
    return 0;
}

实数二分

实数二分不考虑边界点问题，而是考虑精度问题，比整数二分简单

将区间[L,R] 分为 [L,M] 和 [M,R] , 判断条件是 R - L < 1e-6 小于10的 -6 次方

注意：根据题目要求写精度，多取两位，比如保留6位小数，则取1e-8

模板

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

题目

练习题
790. 数的三次方根 入门题

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <iostream>

using namespace std;

int main(){
    double n;
    cin >> n;
    double l = -10000, r = 10000;
    while(r - l > 1e-8)//题目要求保留6位 加上两位
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if(mid * mid * mid >= n)
            r = mid;
        else
            l = mid;
    }
    printf("%lf", r);//默认保留6位小数
    return 0;
}