染色法就是用来判断一个图是不是二分图
二分图：可以把图中所有的点划分到两边去，使得所有的边都是在集合之间的，集合内部没有边
用到的性质：一个图是二分图，当且仅当这个图可以被二染色
一个图是二分图，当且仅当这个图中不含奇数环，反之，如果是个二分图的话，那么它一定不含有奇数环
证明充分性：由于图中没有奇数环，所以染色过程中一定没有矛盾
这句话也可以用反证法来证明：有矛盾的情况一定是，从一个点染着染着，就发现从一个点搜到了一个颜色相同的点，就得到这个环是奇数，得到有矛盾的话一定是奇数环
例题
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <stack>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define fast ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
#define sc(a) scanf("%lld",&a)
#define pf(a) printf("%d",a)
#define endl "\n"
#define int long long
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define ull unsigned long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define inf 0x3f3f3f3f
#define rep(i,a,b) for(auto i=a;i<=b;++i)
#define bep(i,a,b) for(auto i=a;i>=b;--i)
#define lowbit(x) x&(-x)
#define PII pair<int,int>
#define PLL pair<ll,ll>
#define PI acos(-1)
#define pb push_back
#define x first
#define y second
const double eps = 1e-6;
const int mod = 998244353;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int N = 1e5 + 10, M = 2e5 +10;
int e[M], ne[M], h[N], idx;
int color[N];
void add(int a, int b)
{
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
bool dfs(int u, int c)
{
color[u] = c;
for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (!color[j])
{
if (!dfs(j, 3 - c)) return 0;
}
else if (color[j] == c) return 0;
}
return 1;
}
signed main()
{
fast;
int n, m;
cin>>n>>m;
// for(int i=0;i<=n;i++) h[i]=-1;
memset(h, -1, (n+1) * sizeof(int));
// memset(h, -1, sizeof h);
int a,b;
// for(int i=0;i<=n;i++) cout<<"i:"<<i<<' '<<h[i]<<endl;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
cin>>a>>b;
add(a, b);
add(b, a);
}
bool flag = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
if(!color[i])
{
if(!dfs(i, 1))
{
flag=0;
// cout<<"i:"<<i<<endl;
break;
}
}
}
if(flag) cout<<"Yes"<<endl;
else cout<<"No"<<endl;
return 0;
}
一个非常常用的算法
假如有这样一个图，匈牙利算法可以在最快的时间内，告诉我们左右两边配对成功的最大的数量
匹配成功：没有两条边是共用一个点的
可以这样想，左边是男生，右边是女生，边代表着好感度，匹配就是确定恋爱关系，问最多有多少对能在一起（不能劈腿）
思路就是 ，挨个男生看，先看第一个男生，然后看一下他跟哪些女生相互有好感，在这里女生里面挨个看，如果都还单身就先匹配上，匹配成功后看下一个男生，但是如果这个男生发现，他喜欢的妹子有男朋友了，这时候，匈牙利(舔狗)算法好处就出来啦，他死缠烂打，他会看一下这个妹子男朋友是谁，然后看看这个妹子 男朋友有没有其他有好感的女生，如果有的话，他就给这个男朋友一个小目标，让他换个女朋友。如果不行再放弃
例题
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <stack>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define fast ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
#define sc(a) scanf("%lld",&a)
#define pf(a) printf("%d",a)
#define endl "\n"
#define int long long
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define ull unsigned long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define inf 0x3f3f3f3f
#define rep(i,a,b) for(auto i=a;i<=b;++i)
#define bep(i,a,b) for(auto i=a;i>=b;--i)
#define lowbit(x) x&(-x)
#define PII pair<int,int>
#define PLL pair<ll,ll>
#define PI acos(-1)
#define pb push_back
#define x first
#define y second
const double eps = 1e-6;
const int mod = 998244353;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int N = 510, M = 1e5 +10;
int e[M], ne[M], h[N], idx;
bool st[N];
int match[N];
void add(int a, int b)
{
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
bool find(int x)
{
for(int i = h[x]; i!=-1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if(!st[j])
{
st[j] = 1;
if(match[j] == 0 || find(match[j]))
{
match[j] = x;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
signed main()
{
fast;
int n1, n2, m;
memset(h, -1, sizeof h);
cin>>n1>>n2>>m;
int a, b;
for(int i=1; i<=m; i++)
{
cin>>a>>b;
add(a, b);
}
int res =0;
for(int i=1;i<=n1;i++)
{
memset(st, 0, sizeof st);
if(find(i)) res++;
}
cout<<res<<endl;
return 0;
}
棋盘覆盖
