欧拉角定义：

莱昂哈德·欧拉用欧拉角来描述刚体在三维欧几里得空间的取向。对于任何一个参考系，一个刚体的取向，是依照顺序，从这参考系，做三个欧拉角的旋转而设定的。所以，刚体的取向可以用三个基本旋转矩阵来决定。换句话说，任何关于刚体旋转的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵复合而成的。

静态的定义

对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。参考系又称为实验室参考系，是静止不动的。而坐标系则固定于刚体，随着刚体的旋转而旋转。

参阅下图。设定 xyz-轴为参考系的参考轴。称 xy-平面与 XY-平面的相交为交点线，用英文字母（Ｎ）代表。zxz 顺规的欧拉角可以静态地这样定义:

α是 x-轴与交点线的夹角，

β是 z-轴与Z-轴的夹角，

γ是交点线与X-轴的夹角。

很可惜地，对于夹角的顺序和标记，夹角的两个轴的指定，并没有任何常规。科学家对此从未达成共识。每当用到欧拉角时，我们必须明确的表示出夹角的顺序，指定其参考轴。

实际上，有许多方法可以设定两个坐标系的相对取向。欧拉角方法只是其中的一种。此外，不同的作者会用不同组合的欧拉角来描述，或用不同的名字表示同样的欧拉角。因此，使用欧拉角前，必须先做好明确的定义。

角值范围

α，γ 值从 0 至 2π弧度。

β值从 0 至π弧度。

对应于每一个取向，设定的一组欧拉角都是独特唯一的；除了某些例外：

两组欧拉角的α，一个是0，一个是2π，而β与γ分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取向。

两组欧拉角的γ，一个是0，一个是2π，而α与β分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取向。

旋转矩阵

前面提到，设定刚体取向的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵合成的：

单独分开作用，每个矩阵各自代表绕着其转动轴的旋转；但是，当它们照次序相乘，

最里面的(最右的) 矩阵代表绕着 z 轴的旋转。

最外面的(最左的) 矩阵代表绕着 Z 轴的旋转。

在中间的矩阵代表绕着交点线的旋转。

经过一番运算,

[R]的逆矩阵是：

动态定义

我们也可以给予欧拉角两种不同的动态定义。一种是绕着固定于刚体的坐标轴的三个旋转的复合；另外一种是绕着实验室参考轴的三个旋转的复合。用动态的定义，我们能更了解，欧拉角在物理上的含义与应用。特别注意，以下的描述, XYZ 坐标轴是旋转的刚体坐标轴；而 xyz 坐标轴是静止不动的实验室参考轴。

A) 绕着 XYZ 坐标轴旋转：最初，两个坐标系统 xyz 与 XYZ 的坐标轴都是重叠著的。开始先绕着 Z-轴旋转 α 角值。然后，绕着 X-轴旋转 β 角值。最后，绕着 Z-轴作角值 γ  的旋转。

B) 绕着 xyz 坐标轴旋转：最初，两个坐标系统 xyz 与 XYZ 的坐标轴都是重叠著的。开始先绕着 z-轴旋转γ, 角值。然后，绕着 x-轴旋转 β 角值。最后，绕着 z-轴作角值 α 的旋转。

参阅欧拉角图，定义 A 与静态定义的相等，这可以直接用几何制图方法来核对。

定义 A 与定义 B 的相等可以用旋转矩阵来证明：

思考任何一点 P1, ，在 xyz 与 XYZ 坐标系统的坐标分别为 r1 与R 。定义角算符 Z(α） 为绕着 Z-轴旋转 α 角值。那么定义 A 可以表述如下:

用旋转矩阵表示,

思考任何一点 P2，在 xyz 与 XYZ 坐标系统的坐标分别为 r2 与R2。定义角算符 z(α）为绕着 z-轴旋转 α角值。则定义 B 可以表述如下:

用旋转矩阵表示,

假设， r1=r2．那么，

乘以逆算符，

但是，从旋转矩阵可以观察出，

所以，

定义 A 与定义 B 是相等的。