树上启发式合并详解 dsu on tree (图论)

算法简介：

在支持离线查询的与子树有关的题目中可以离线处理每个点的信息然后查询。

常见的题目有查询某子树颜色数量即相关信息。

算法思想：

考虑最简单的处理方法：对每个点都遍历一次子树所有节点求相关信息，复杂度为，明显没有实际应用意义。

仔细思考过程，我们可以发现每个点的信息求出来了之后，只对当前子树和父节点有作用，对其同深度的子树没有任何意义，反而我们还需要求一遍之后清除记录之后才能求其他点的信息，不然会冲突。

此时算法的瓶颈出现了：遍历的不可避免，能不能把每个点的求解降复杂度呢？

想想求解的过程，其实遍历时的信息相加和判断是很优秀的，重点在于有些点的信息我们要留给父节点，有的信息要删除避免影响其他子树的答案。删除信息过程耗了太多时间。

那能不能不删呢？

对每一棵树，最先遍历的子树肯定要删，不然会影响其他子树。那么最后一个子树我们就不用删了。为了最大化优化复杂度，我们把重子树放在最后无疑是最佳的。那么递归这个过程，由于定义，总复杂度不会超过，得到可行解。

板子：

/*keep on going and never give up*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'
#define inf 1e18
#define fast std::ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
const int maxn=2e5+20;
vector<int>e[maxn];
int siz[maxn],mson[maxn],col[maxn];
void dfs1(int x,int fa){//重子节点
	siz[x]=1;
	for(auto y:e[x]){
		if(y==fa)continue;
		dfs1(y,x);
		if(siz[y]>siz[mson[x]])mson[x]=y;
		siz[x]+=siz[y];
	}
}
int cnt[maxn],ans[maxn],now_ans=0;
void change(int x,int fa,int type){//更新cnt
	cnt[col[x]]+=type;
	if(type==1&&cnt[col[x]]==1)now_ans++;
	if(type==-1&&cnt[col[x]]==0)now_ans--;
	for(auto y:e[x])
	if(y!=fa) change(y,x,type);
}
void dfs2(int x,int fa,bool f){
	for(auto y:e[x])
	if(y!=fa&&y!=mson[x]) 
		dfs2(y,x,1);//先轻再重
	if(mson[x]!=0)
	    dfs2(mson[x],x,0);
	cnt[col[x]]++;
	if(cnt[col[x]]==1)now_ans++;
	for(auto y:e[x])
	if(y!=fa&&y!=mson[x]) change(y,x,1);//删轻
	ans[x]=now_ans;
	if(f)change(x,fa,-1);
}
signed main(){
	fast
	int n;cin>>n;
	for(int i=1,x,y;i<n;i++){
		cin>>x>>y;e[x].push_back(y),e[y].push_back(x);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>col[i];
	dfs1(1,0);
	dfs2(1,0,0);
	int m;cin>>m;
	for(int i=1,x;i<=m;i++)
	cin>>x,cout<<ans[x]<<endl;
}