Group 1
Group 2
Proof LHS:
(
I
n
O
O
A
B
)
→
r
2
+
A
⋅
r
1
(
I
n
O
A
A
B
)
→
c
2
+
c
1
⋅
(
−
B
)
(
I
n
−
B
A
O
)
→
c
1
↔
−
c
2
(
B
I
n
O
A
)
\left( \begin{matrix} I_n& O\\ O& AB\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_2+A\cdot r_1}\left( \begin{matrix} I_n& O\\ A& AB\\ \end{matrix} \right) \\\xrightarrow{c_2+c_1\cdot \left( -B \right)}\left( \begin{matrix} I_n& -B\\ A& O\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{c_1\leftrightarrow -c_2}\left( \begin{matrix} B& I_n\\ O& A\\ \end{matrix} \right)
(InOOAB)r2+A⋅r1(InAOAB)c2+c1⋅(−B)(InA−BO)c1↔−c2(BOInA)
⇔
n
+
r
a
n
k
(
A
B
)
=
r
a
n
k
(
I
n
)
+
r
a
n
k
(
A
B
)
=
r
a
n
k
(
I
n
O
O
A
B
)
=
r
a
n
k
(
B
I
n
O
A
)
⩾
r
a
n
k
(
A
)
+
r
a
n
k
(
B
)
\begin{aligned} \Leftrightarrow & \quad n+\mathrm{rank}\left( AB \right)=\mathrm{rank}\left( I_n \right) +\mathrm{rank}\left( AB \right) \\&=\mathrm{rank}\left( \begin{matrix} I_n& O\\ O& AB\\ \end{matrix} \right) =\mathrm{rank}\left( \begin{matrix} B& I_n\\ O& A\\ \end{matrix} \right) \\&\geqslant \mathrm{rank}\left( A \right) +\mathrm{rank}\left( B \right) \end{aligned}
⇔n+rank(AB)=rank(In)+rank(AB)=rank(InOOAB)=rank(BOInA)⩾rank(A)+rank(B)
Proof RHS:
A
B
AB
AB 行向量可表示为
B
B
B 行向量的线性组合，则有
r
a
n
k
(
A
B
)
≤
r
a
n
k
(
B
)
\mathrm{rank}(AB)\le \mathrm{rank}(B)
rank(AB)≤rank(B)
A
B
AB
AB 列向量可表示为
A
A
A 列向量的线性组合，所以
r
a
n
k
(
A
B
)
≤
r
a
n
k
(
A
)
\mathrm{rank}(AB)\le \mathrm{rank}(A)
rank(AB)≤rank(A)
Proof:
(
B
O
O
A
B
C
)
→
r
2
+
A
⋅
r
1
(
B
O
A
B
A
B
C
)
→
c
2
−
c
1
⋅
C
(
B
−
B
C
A
B
O
)
→
c
1
↔
−
c
2
(
B
C
B
O
A
B
)
\qquad \left( \begin{matrix} B& O\\ O& ABC\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_2+A\cdot r_1}\left( \begin{matrix} B& O\\ AB& ABC\\ \end{matrix} \right) \\ \xrightarrow{c_2-c_1\cdot C }\left( \begin{matrix} B& -BC\\ AB& O\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{c_1\leftrightarrow -c_2}\left( \begin{matrix} BC& B\\ O& AB\\ \end{matrix} \right)
(BOOABC)r2+A⋅r1(BABOABC)c2−c1⋅C(BAB−BCO)c1↔−c2(BCOBAB)
⇔
r
a
n
k
(
B
O
O
A
B
C
)
=
r
a
n
k
(
B
C
B
O
A
B
)
⩾
r
a
n
k
(
B
C
O
O
A
B
)
\Leftrightarrow \mathrm{rank}\left( \begin{matrix} B& O\\ O& ABC\\ \end{matrix} \right) =\mathrm{rank}\left( \begin{matrix} BC& B\\ O& AB\\ \end{matrix} \right) \\\quad\geqslant \mathrm{rank}\left( \begin{matrix} BC& O\\ O& AB\\ \end{matrix} \right)
⇔rank(BOOABC)=rank(BCOBAB)⩾rank(BCOOAB)
⇔
r
a
n
k
(
A
B
C
)
+
r
a
n
k
(
B
)
⩾
r
a
n
k
(
A
B
)
+
r
a
n
k
(
B
C
)
\Leftrightarrow \mathrm{rank}(ABC)+\mathrm{rank}(B)\\\quad\geqslant \mathrm{rank}(AB)+\mathrm{rank}(BC)
⇔rank(ABC)+rank(B)⩾rank(AB)+rank(BC)
Group 3
Proof:
n
=
r
a
n
k
(
I
)
=
r
a
n
k
(
(
C
1
−
C
2
)
I
)
=
r
a
n
k
(
(
A
+
C
1
I
)
−
(
A
+
C
2
I
)
)
⩽
r
a
n
k
(
A
+
C
1
I
)
+
r
a
n
k
(
A
+
C
2
I
)
⩽
n
\begin{aligned} n&=\mathrm{rank}(I)=\mathrm{rank}((C_1-C_2)I) \\&=\mathrm{rank}((A+C_1I)-(A+C_2I)) \\&\leqslant \mathrm{rank}(A+C_1I)+\mathrm{rank}(A+C_2I) \leqslant n \end{aligned}
n=rank(I)=rank((C1−C2)I)=rank((A+C1I)−(A+C2I))⩽rank(A+C1I)+rank(A+C2I)⩽n
利用以上引理可以轻松得到结论，下面提供其他证法
Proof1:
(
A
O
O
I
−
A
)
→
r
2
+
r
1
(
A
O
A
I
−
A
)
→
c
2
+
c
1
(
A
A
A
I
)
→
c
1
+
(
−
A
)
c
2
(
A
−
A
2
A
O
I
)
→
r
1
+
(
−
A
)
r
2
(
A
−
A
2
O
O
I
)
\quad\quad \left( \begin{matrix} A& O\\ O& I-A\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_2+r_1}\left( \begin{matrix} A& O\\ A& I-A\\ \end{matrix} \right) \\ \xrightarrow{c_2+c_1}\left( \begin{matrix} A& A\\ A& I\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{c_1+\left( -A \right) c_2}\left( \begin{matrix} A-A^2& A\\ O& I\\ \end{matrix} \right) \\ \xrightarrow{r_1+\left( -A \right) r_2}\left( \begin{matrix} A-A^2& O\\ O& I\\ \end{matrix} \right)
(AOOI−A)r2+r1(AAOI−A)c2+c1(AAAI)c1+(−A)c2(A−A2OAI)r1+(−A)r2(A−A2OOI)
⇔
r
a
n
k
(
A
O
O
I
−
A
)
=
r
a
n
k
(
A
−
A
2
O
O
I
)
\Leftrightarrow \mathrm{rank}\left( \begin{matrix} A& O\\ O& I-A\\ \end{matrix} \right) =\mathrm{rank}\left( \begin{matrix} A-A^2& O\\ O& I\\ \end{matrix} \right)
⇔rank(AOOI−A)=rank(A−A2OOI)
⇔
r
a
n
k
(
A
)
+
r
a
n
k
(
I
−
A
)
=
r
a
n
k
(
A
−
A
2
)
+
r
a
n
k
(
I
)
=
0
+
n
\Leftrightarrow \mathrm{rank}\left( A \right) +\mathrm{rank}\left( I-A \right) \\ \quad=\mathrm{rank}\left( A-A^2 \right) +\mathrm{rank}\left( I \right) \\ \quad=0+n
⇔rank(A)+rank(I−A)=rank(A−A2)+rank(I)=0+n
⇔
r
a
n
k
(
A
)
+
r
a
n
k
(
A
−
I
)
=
n
\Leftrightarrow \mathrm{rank}\left( A \right) +\mathrm{rank}\left( A-I \right) =n
⇔rank(A)+rank(A−I)=n
Proof2:
(
A
+
I
O
O
A
−
I
)
→
(
2
I
O
−
(
A
+
I
)
−
(
A
+
I
)
(
A
−
I
)
2
)
→
(
2
I
O
O
−
(
A
2
−
I
)
2
)
\quad \left( \begin{matrix} A+I& O\\ O& A-I\\ \end{matrix} \right) \\ \rightarrow \left( \begin{matrix} 2I& O\\ -\left( A+I \right)& -\frac{\left( A+I \right) \left( A-I \right)}{2}\\ \end{matrix} \right) \\ \rightarrow \left( \begin{matrix} 2I& O\\ O& -\frac{\left( A^2-I \right)}{2}\\ \end{matrix} \right)
(A+IOOA−I)→(2I−(A+I)O−2(A+I)(A−I))→(2IOO−2(A2−I))
⇔
r
a
n
k
(
A
+
I
)
+
r
a
n
k
(
A
−
I
)
=
r
a
n
k
(
2
I
)
+
r
a
n
k
(
−
A
2
−
I
2
)
=
n
+
0
=
n
\Leftrightarrow \mathrm{rank}(A+I)+\mathrm{rank}(A-I)\\\quad=\mathrm{rank}(2I)+\mathrm{rank}(-\frac{A^2-I}{2}) \\\quad=n+0=n
⇔rank(A+I)+rank(A−I)=rank(2I)+rank(−2A2−I)=n+0=n
