noip2013 火柴排队（离散化+归并排序求逆序对数）-CFANZ编程社区

P1842火柴排队

未递交

标签： NOIP提高组2013

描述

涵涵有两盒火柴，每盒装有 n 根火柴，每根火柴都有一个高度。现在将每盒中的火柴各自排成一列，同一列火柴的高度互不相同，两列火柴之间的距离定义为：∑i=1n(ai−bi)2，其中 ai 表示第一列火柴中第 i 个火柴的高度，bi

每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。

格式

输入格式

共三行，第一行包含一个整数 n，表示每盒中火柴的数目。

第二行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。

第三行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。

输出格式

输出共一行，包含一个整数，表示最少交换次数对 99,999,997 取模的结果。

样例1

样例输入1[复制]

4 2 3 1 4 3 2 1 4

样例输出1[复制]

样例2

样例输入2[复制]

4 1 3 4 2 1 7 2 4

样例输出2[复制]

限制

每个测试点1s。

提示

样例1说明

最小距离是 0，最少需要交换 1 次，比如：交换第 1 列的前 2 根火柴或者交换第 2 列的前 2 根火柴。

样例2说明

最小距离是 10，最少需要交换 2 次，比如：交换第 1 列的中间 2 根火柴的位置，再交换第 2 列中后 2 根火柴的位置。

数据范围

对于 10%的数据， 1 ≤ n ≤ 10；
对于 30%的数据，1 ≤ n ≤ 100；
对于 60%的数据，1 ≤ n ≤ 1,000；
对于 100%的数据，1 ≤ n ≤ 100,000，0 ≤火柴高度≤ 2^31 − 1。

来源

NOIP 2013 提高组 Day 1

解析：1.sum{ (ai-bi)^2 }=sum{ ai^2+bi^2-2*ai*bi }=sum{ ai^2+bi^2 } - 2*sum{ ai*bi }

sum{ ai^2+bi^2 }，这是一个定值，于是原问题就转化为使 sum{ ai*bi }的值最大。由此，我们得到，最后的排列即为：a的最大值对应b的最大值，a的次大值对应b的次大值。。。。。

ps：为什么这样最大？比如：a1>a2，b1>b2，然后自己是计算一下就知道了。

2.我们可以直接将两个数列进行离散化，以样例二为例：

a: 1 3 4 2 对应顺序为：1 3 4 2

b: 1 7 2 4 ==> 1 4 7 2

将a、b离散化得到：

a:1 3 2 4

b:1 4 2 3 ==> 于是就有 a的1 对应 b的1，a的2对应b的2。

3. 用c[i] 记录 b[i] 对应 a 数组的哪个位置，则有：

a:1 3 2 4

b:1 4 2 3

c:1 4 3 2

答案即为将 c 数组的序列转换为：1 2 3 4 的递增序列需要转换的次数，也就是 c 数组的逆序对数。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn=1e5;
const int mod= 99999997;
struct tnode{
  int x,y;
}p[maxn+10];
int n,ans=0;
int a[maxn+10],b[maxn+10],c[maxn+10];

int getin()
{
  int ans=0;char tmp;
  while(!isdigit(tmp=getchar()));
  do ans=(ans<<3)+(ans<<1)+tmp-'0';
  while(isdigit(tmp=getchar()));
  return ans;
}

void merge_sort(int l,int r)
{
  if(l>=r)return;
  int mid=(l+r)>>1,i,j,k;
  merge_sort(l,mid);
  merge_sort(mid+1,r);
  for(i=l,j=mid+1,k=l;i<=mid && j<=r;k++)
    if(b[i]<b[j])c[k]=b[i++];
    else ans+=mid-i+1,ans%=mod,c[k]=b[j++];
  for(;i<=mid;i++,k++)c[k]=b[i];
  for(;j<=r;j++,k++)c[k]=b[j];
  for(i=l;i<=r;i++)b[i]=c[i];
}

bool cmp_p(tnode a,tnode b)
{
  return a.x<b.x;
}

int main()
{
  int i;  n=getin();
  for(i=1;i<=n;i++)p[i].x=getin(),p[i].y=i;
  sort(p+1,p+n+1,cmp_p);
  for(i=1;i<=n;i++)a[i]=p[i].y;
  
  for(i=1;i<=n;i++)p[i].x=getin(),p[i].y=i;
  sort(p+1,p+n+1,cmp_p);
  for(i=1;i<=n;i++)b[p[i].y]=a[i];
  
  merge_sort(1,n);
  printf("%d\n",ans);
  return 0;
}