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noip2013 火柴排队 (离散化+归并排序求逆序对数)



P1842火柴排队

未递交


标签: ​​NOIP提高组2013​​





描述


涵涵有两盒火柴,每盒装有 n 根火柴,每根火柴都有一个高度。现在将每盒中的火柴各自排成一列,同一列火柴的高度互不相同,两列火柴之间的距离定义为:​​∑i=1n(ai−bi)2​​,其中 ​​ai​​ 表示第一列火柴中第 i 个火柴的高度,​​bi​

每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换,请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离,最少需要交换多少次?如果这个数字太大,请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。



格式



输入格式



共三行,第一行包含一个整数 n,表示每盒中火柴的数目。

第二行有 n 个整数,每两个整数之间用一个空格隔开,表示第一列火柴的高度。

第三行有 n 个整数,每两个整数之间用一个空格隔开,表示第二列火柴的高度。



输出格式



输出共一行,包含一个整数,表示最少交换次数对 99,999,997 取模的结果



样例1



样例输入1[复制]

4 2 3 1 4 3 2 1 4

样例输出1[复制]

1



样例2



样例输入2[复制]

4 1 3 4 2 1 7 2 4

样例输出2[复制]

2



限制



每个测试点1s。



提示



样例1说明

最小距离是 0,最少需要交换 1 次,比如:交换第 1 列的前 2 根火柴或者交换第 2 列的前 2 根火柴。

样例2说明

最小距离是 10,最少需要交换 2 次,比如:交换第 1 列的中间 2 根火柴的位置,再交换第 2 列中后 2 根火柴的位置。

数据范围

对于 10%的数据, 1 ≤ n ≤ 10;
对于 30%的数据,1 ≤ n ≤ 100;
对于 60%的数据,1 ≤ n ≤ 1,000;
对于 100%的数据,1 ≤ n ≤ 100,000,0 ≤火柴高度≤ 2^31 − 1。



来源



NOIP 2013 提高组 Day 1


解析:1.sum{ (ai-bi)^2 }=sum{ ai^2+bi^2-2*ai*bi }=sum{ ai^2+bi^2 } - 2*sum{ ai*bi }

sum{ ai^2+bi^2 },这是一个定值,于是原问题就转化为使 sum{ ai*bi }的值最大。由此,我们得到,最后的排列即为:a的最大值对应b的最大值,a的次大值对应b的次大值。。。。。

               ps:为什么这样最大?比如:a1>a2,b1>b2,然后自己是计算一下就知道了。

           2.我们可以直接将两个数列进行离散化,以样例二为例:

              a: 1 3 4 2              对应顺序为:1 3 4 2

              b: 1 7 2 4      ==>                        1 4 7 2

              将a、b离散化得到:

              a:1 3 2 4

              b:1 4 2 3     ==> 于是就有 a的1 对应 b的1,a的2对应b的2。

          3. 用c[i] 记录 b[i] 对应 a 数组的哪个位置,则有:

             a:1  3  2  4

             b:1  4  2  3

             c:1  4  3  2

            答案即为将 c 数组的序列转换为:1 2 3 4 的递增序列需要转换的次数,也就是 c 数组的逆序对数。

代码:


#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn=1e5;
const int mod= 99999997;
struct tnode{
int x,y;
}p[maxn+10];
int n,ans=0;
int a[maxn+10],b[maxn+10],c[maxn+10];

int getin()
{
int ans=0;char tmp;
while(!isdigit(tmp=getchar()));
do ans=(ans<<3)+(ans<<1)+tmp-'0';
while(isdigit(tmp=getchar()));
return ans;
}

void merge_sort(int l,int r)
{
if(l>=r)return;
int mid=(l+r)>>1,i,j,k;
merge_sort(l,mid);
merge_sort(mid+1,r);
for(i=l,j=mid+1,k=l;i<=mid && j<=r;k++)
if(b[i]<b[j])c[k]=b[i++];
else ans+=mid-i+1,ans%=mod,c[k]=b[j++];
for(;i<=mid;i++,k++)c[k]=b[i];
for(;j<=r;j++,k++)c[k]=b[j];
for(i=l;i<=r;i++)b[i]=c[i];
}

bool cmp_p(tnode a,tnode b)
{
return a.x<b.x;
}

int main()
{
int i; n=getin();
for(i=1;i<=n;i++)p[i].x=getin(),p[i].y=i;
sort(p+1,p+n+1,cmp_p);
for(i=1;i<=n;i++)a[i]=p[i].y;

for(i=1;i<=n;i++)p[i].x=getin(),p[i].y=i;
sort(p+1,p+n+1,cmp_p);
for(i=1;i<=n;i++)b[p[i].y]=a[i];

merge_sort(1,n);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}




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