切线法（牛顿法）、割线法、抛物线法

目录

​​一，牛顿法​​

​​二，牛顿法的局限性​​

​​三，牛顿下山法​​

​​四，割线法​​

​​五，抛物线法​​

一，牛顿法

牛顿法，也叫牛顿迭代法、切线法，是一种迭代求解函数零点的方法。

原理：

令f(x)=0则

取，在一定的范围（x的足够小的邻域）内，x1比x0更接近所求的零点x

根据这个原理，不断的迭代，即可越来越接近x值。

double f(double x)
{
  return x * x + x * 5 - 8;
}
double df(double x)
{
  double eps = 0.001;
  return (f(x + eps) - f(x)) / eps;
}
double newton(double x)
{
  double eps = 0.000001;
  int times = 100;
  while (times--) {
    double x2 = x - f(x) / df(x);
    cout << x2 << "  ";
    if (abs(x - x2) < eps)return x2;
    x = x2;
  }
  return 0;
}

int main()
{
  double ans = newton(0);
  cout << endl << ans << "  " << f(ans);
  return 0;
}

输出：

1.59968  1.28782  1.27494  1.27492  1.27492

1.27492  3.2081e-12

可以看出收敛很快。

二，牛顿法的局限性

1，牛顿法对于初始值有要求，而且没有很简单的方法去判断一个邻域是否已经足够小。

2，序列{x0,x1,x2...}越来越接近x，单调有界必要极限，但是这个极限值是否一定是x，我个人不太确定，但是找到了一个课件中给出了答案：

​​牛顿法及其收敛性课件​​

结论是对于单根，|xi - x|平方收敛，但对于有重根的情况只是线性收敛。

如果知道是m重根，则可以改进公式为：

三，牛顿下山法

每取一个新值之前学习率设为1，每次取到新值之后，判断新的函数值是否更接近0，如果不是则降低学习率直到新的函数值更接近0。

在一定程度上降低对于初始值的范围要求。

double newton(double x)
{
  double eps = 0.000001;
  int times = 100;
  double learningRate = 1;
  while (times--) {
    double x2 = x - f(x) / df(x)*learningRate;
    cout << x2 << "  ";
    if (abs(x - x2) < eps)return x2;
    if (abs(f(x2)) < abs(f(x))) {
      x = x2, learningRate = 1;
    } else {
      learningRate /= 2;
    }
  }
  return 0;
}

四，割线法

在曲线上取AB两点，求切线AB和x轴的交点C，让BC取代AB进入下一轮迭代，直到两点间距达到精度要求。

收敛定理：

五，抛物线法