- 根据上述内容,为求逆矩阵,需要分别求得矩阵行列式的值和矩阵的逆矩阵.
1 矩阵行列式求值
1.1 定义
- 由
n
n
n阶方阵
A
A
A的元素构成的行列式(各元素位置不变),称为
A
A
A的行列式,记作
∣
A
∣
\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}
A
或
d
e
t
A
detA
detA.
1.2 C++代码
- 求行列式值的两种途径:一是根据行列式定义、二是利用代数余子式.
- 在CDeterminant类中增加两个成员函数GetCetValByDef()和GetDetValByRem(),相关代码参考【线性代数|行列式定义及其值】和【线性代数 | C++】行列式按行(列)展开。
2 求伴随矩阵
2.1 定义
- 行列式
∣
A
∣
\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}
A
各元素的代数余子式
A
i
j
A_{ij}
Aij构成的如下矩阵
A
∗
=
[
A
11
A
21
⋯
A
n
1
A
12
A
22
⋯
A
n
2
⋮
⋮
⋮
A
1
n
A
2
n
⋯
A
n
n
]
,
A^*=\begin{bmatrix}A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\A_{1n} & A_{2n} &\cdots & A_{nn}\end{bmatrix},
A∗=
A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n⋯⋯⋯An1An2⋮Ann
,称为矩阵
A
A
A的伴随矩阵.
- 注意:伴随矩阵
A
∗
A^*
A∗中元素的位置与对应行列式
∣
A
∣
\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}
A
中元素的位置呈转置关系.
2.2 C++代码
2.2.1 求余子式
- 由定义可知,求伴随矩阵,需先求行列式各元素的代数余子式.
- 求代数余子式,需先求余子式.
- 故,在CDeterminant类中增加一个求行列式余子式的成员函数GetDetRem().
static bool GetDetRem
(
const vector<vector<double>> &vvDetInput,
int i,
int j,
vector<vector<double>> &vvDetRet
);
bool CDeterminant::GetDetRem
(
const vector<vector<double>> &vvDetInput,
int i,
int j,
vector<vector<double>> &vvDetRet
)
{
if (false == IsDet(vvDetInput))
return false;
vvDetRet.clear();
vvDetRet = vvDetInput;
vvDetRet.erase(vvDetRet.cbegin() + i);
for (int i = 0; i < vvDetRet.size(); i++)
{
vvDetRet[i].erase(vvDetRet[i].cbegin() + j);
}
return true;
}
2.2.2 求伴随矩阵
- 在CMatrix类中添加GetAdjointMat函数,用于求伴随矩阵.其思路是:
- 按列逐行取得矩阵的元素;
- 求相应的余子式
- 对余子式求值
- 求代数余子式
- 将代数余子式的值,按行填入新矩阵
- 得到伴随矩阵
static bool GetAdjointMat
(
const vector<vector<double>> &vvMatInput,
vector<vector<double>> &vvMatRet
);
bool CMatrix::GetAdjointMat
(
const vector<vector<double>> &vvMatInput,
vector<vector<double>> &vvMatRet
)
{
if (false == CDeterminant::IsDet(vvMatInput))
return false;
vvMatRet.clear();
vector<double> vTemp;
vector<vector<double>> vvDetTemp;
double iDetValTemp;
for (int i = 0; i < vvMatInput[0].size(); i++)
{
vTemp.clear();
for (int j = 0; j < vvMatInput.size(); j++)
{
vvDetTemp.clear();
CDeterminant::GetDetRem(vvMatInput, j, i, vvDetTemp);
iDetValTemp = 0;
CDeterminant::GetDetValByDef(vvDetTemp, iDetValTemp);
iDetValTemp = (pow(-1, i + j) * iDetValTemp);
vTemp.push_back(iDetValTemp);
}
vvMatRet.push_back(vTemp);
}
return true;
}
3 求逆矩阵
- 利用前面求得的
∣
A
∣
\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}
A
及
A
∗
A^*
A∗,按照公式
A
−
1
=
1
∣
A
∣
A
∗
A^{-1}= \frac{1}{\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}}A^*
A−1=∣A∣1A∗,可以求得
A
A
A的逆矩阵.
- 在CMatrix类中增加GetInverseMat函数,以实现上述功能.
static bool GetInverseMat
(
const vector<vector<double>> &vvMatInput,
vector<vector<double>> &vvInverseMat
);
bool CMatrix::GetInverseMat
(
const vector<vector<double>> &vvMatInput,
vector<vector<double>> &vvInverseMat
)
{
if (false == CDeterminant::IsDet(vvMatInput))
return false;
double fDetVal;
CDeterminant::GetDetValByDef(vvMatInput, fDetVal);
if (0 == fDetVal)
return false;
fDetVal = 1.0 / fDetVal;
vector<vector<double>> vvMatTemp;
GetAdjointMat(vvMatInput, vvMatTemp);
vvInverseMat.clear();
MatMulti(fDetVal, vvMatTemp, vvInverseMat);
return true;
}
4 测试
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <vector>
#include "CMatrix.h"
using namespace std;
bool PrintMat
(
const vector<vector<double>> &vvMat
)
{
for (int i = 0; i < vvMat.size(); i++)
{
for (int j = 0; j < vvMat[i].size(); j++)
{
cout << setw(5) << vvMat[i][j];
}
cout << endl;
}
return true;
}
int main()
{
vector<vector<double>> vvMatA{{ 1, 2, 3},
{ 2, 2, 1},
{ 3, 4, 3}};
vector<vector<double>> vvMatRet;
if (false == CMatrix::GetInverseMat(vvMatA, vvMatRet))
{
cout << "计算失败" << endl;
}
else
{
PrintMat(vvMatRet);
}
return 0;
}

- 引用文献:《工程数学 线性代数(第五版)》同济大学数学系编,高等教育出版社.
- 以上为个人学习、练习的记录,如有错误,欢迎指正.