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卷积神经网络的反向传播

卷积神经网络的反向传播_神经网络


反向传播算法(Backpropagation)是目前用来训练人工神经网络(Artificial Neural Network,ANN)的最常用且最有效的算法。其主要思想是:

  • 将训练集数据输入到ANN的输入层,经过隐藏层,最后达到输出层并输出结果,这是ANN的前向传播过程;
  • 由于ANN的输出结果与实际结果有误差,则计算估计值与实际值之间的误差,并将该误差从输出层向隐藏层反向传播,直至传播到输入层;
  • 在反向传播的过程中,根据误差调整各种参数的值;不断迭代上述过程,直至收敛。


        反向传播算法的思想比较容易理解,但具体的公式则要一步步推导,因此本文着重介绍公式的推导过程。


1. 变量定义

卷积神经网络的反向传播_代价函数_02

上图是一个三层人工神经网络,layer1至layer3分别是输入层、隐藏层和输出层。如图,先定义一些变量:

卷积神经网络的反向传播_反向传播算法_03表示第卷积神经网络的反向传播_反向传播算法_04层的第卷积神经网络的反向传播_神经网络_05个神经元连接到第卷积神经网络的反向传播_代价函数_06层的第卷积神经网络的反向传播_代价函数_07个神经元的权重;卷积神经网络的反向传播_代价函数_08表示第卷积神经网络的反向传播_代价函数_06层的第卷积神经网络的反向传播_代价函数_07个神经元的偏置; 卷积神经网络的反向传播_代价函数_11表示第卷积神经网络的反向传播_代价函数_06层的第卷积神经网络的反向传播_代价函数_07个神经元的输入,即


卷积神经网络的反向传播_神经网络_14

 卷积神经网络的反向传播_神经网络_15表示第卷积神经网络的反向传播_代价函数_06层的第卷积神经网络的反向传播_代价函数_07个神经元的输出,即



卷积神经网络的反向传播_代价函数_18

  其中卷积神经网络的反向传播_神经网络_19表示激活函数。

2. 代价函数

代价函数被用来计算ANN输出值与实际值之间的误差。常用的代价函数是二次代价函数(Quadratic cost function):

卷积神经网络的反向传播_神经网络_20

其中,x表示输入的样本,y表示实际的分类,a^L表示预测的输出,L表示神经网络的最大层数。

3. 公式及其推导

        本节将介绍反向传播算法用到的4个公式,并进行推导。如果不想了解公式推导过程,请直接看第4节的算法步骤。

        首先,将第卷积神经网络的反向传播_代价函数_06层第卷积神经网络的反向传播_代价函数_07个神经元中产生的错误(即实际值与预测值之间的误差)定义为:

卷积神经网络的反向传播_神经网络_23

本文将以一个输入样本为例进行说明,此时代价函数表示为:

卷积神经网络的反向传播_神经网络_24

公式1(计算最后一层神经网络产生的错误):

卷积神经网络的反向传播_代价函数_25

其中,卷积神经网络的反向传播_反向传播算法_26表示Hadamard乘积,用于矩阵或向量之间点对点的乘法运算。公式1的推导过程如下:

卷积神经网络的反向传播_反向传播算法_27

公式2(由后往前,计算每一层神经网络产生的错误):

卷积神经网络的反向传播_神经网络_28

推导过程:

卷积神经网络的反向传播_神经网络_29


公式3(计算权重的梯度):

卷积神经网络的反向传播_代价函数_30

推导过程:

卷积神经网络的反向传播_反向传播算法_31

公式4(计算偏置的梯度):

卷积神经网络的反向传播_反向传播算法_32

推导过程:

卷积神经网络的反向传播_代价函数_33

4. 反向传播算法伪代码


  • 输入训练集


  • 对于训练集中的每个样本x,设置输入层(Input layer)对应的激活值卷积神经网络的反向传播_神经网络_34
  • 前向传播:

卷积神经网络的反向传播_反向传播算法_35


  • 计算输出层产生的错误:

卷积神经网络的反向传播_神经网络_36

  • 反向传播错误:


卷积神经网络的反向传播_代价函数_37

  • 使用梯度下降(gradient descent),训练参数:


卷积神经网络的反向传播_反向传播算法_38

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