（组合数学笔记）Pólya计数理论_Part.4_Burnside引理

文章目录

• ​​Burnside引理​​

• ​​Burnside引理（轨道计数定理，等价类计数定理）​​

• ​​证明​​

• ​​轨道计数示例​​

• ​​定理​​
• ​​推论​​

Burnside引理

Burnside引理（轨道计数定理，等价类计数定理）

设是元集上的置换群，表示的轨道集，则：

其中是置换的循环分解式中循环的个数，即置换的不动点的个数。

证明

（殊途同归原理）

轨道计数示例

一般称为由上的置换群所导出的上的置换群。
易证：（同构），映射就是群到群的同构映射。

定理

设是对象集，是颜色集，是上的置换群，是由导出的上的置换群，对于，使得

其中是由导出的上的置换。

推论

根据上面的定理，若令

则易知也是上的等价关系，记为，其不同等价类的集合仍以表示。由于，所以显然有