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如何理解卷积(Convolution)?

丹柯yx 2022-02-18 阅读 64

1.如何理解卷积?

笔记来源:【小动画】彻底理解卷积【超形象】卷的由来,小元老师

1.1 角度一(概率统计)

以两个随机变量为例
两个相互独立的随机变量 X X X和随机变量 Y Y Y的概率密度函数通过卷积得到随机变量之和 X + Y X+Y X+Y的概率密度函数

假设第一行为某人数学考试的可能得分、第二行为某人英语考试的可能得分【假设满分20】
获得每个分数的概率为 1 / 20 1/20 1/20,此人两科总分为35分的概率是多少?

S ( 35 ) = f ( 15 ) g ( 35 − 15 ) + f ( 16 ) g ( 35 − 16 ) + f ( 17 ) g ( 35 − 17 ) + f ( 18 ) g ( 35 − 18 ) + f ( 19 ) g ( 35 − 19 ) + f ( 20 ) g ( 35 − 20 )   S ( 35 ) = f ( 15 ) g ( 20 ) + f ( 16 ) g ( 19 ) + f ( 17 ) g ( 18 ) + f ( 18 ) g ( 19 ) + f ( 19 ) g ( 16 ) + f ( 20 ) g ( 15 )   S ( 35 ) = 1 20 ⋅ 1 20 + 1 20 ⋅ 1 20 + 1 20 ⋅ 1 20 + 1 20 ⋅ 1 20 + 1 20 ⋅ 1 20 + 1 20 ⋅ 1 20 = 6 20 S(35)=f(15)g(35-15)+f(16)g(35-16)+f(17)g(35-17)+f(18)g(35-18)+f(19)g(35-19)+f(20)g(35-20)\\ ~\\ S(35)=f(15)g(20)+f(16)g(19)+f(17)g(18)+f(18)g(19)+f(19)g(16)+f(20)g(15)\\ ~\\ S(35)=\frac{1}{20}\cdot \frac{1}{20}+\frac{1}{20}\cdot \frac{1}{20}+\frac{1}{20}\cdot \frac{1}{20}+\frac{1}{20}\cdot \frac{1}{20}+\frac{1}{20}\cdot \frac{1}{20}+\frac{1}{20}\cdot \frac{1}{20}=\frac{6}{20}\\ S(35)=f(15)g(3515)+f(16)g(3516)+f(17)g(3517)+f(18)g(3518)+f(19)g(3519)+f(20)g(3520) S(35)=f(15)g(20)+f(16)g(19)+f(17)g(18)+f(18)g(19)+f(19)g(16)+f(20)g(15) S(35)=201201+201201+201201+201201+201201+201201=206

S ( z ) = ∑ n f ( x n ) g ( y n )   z = x n + y n 、 y n = z − x n   S ( z ) = ∑ n f ( x n ) g ( z − x n ) S(z)=\sum_{n}f(x_n)g(y_n)\\ ~\\ z=x_n+y_n、y_n=z-x_n\\ ~\\ S(z)=\sum_{n}f(x_n)g(z-x_n) S(z)=nf(xn)g(yn) z=xn+ynyn=zxn S(z)=nf(xn)g(zxn)
为方便上下两行能够很好的对应起来,我们将上面一行进行翻转

如果将上面的两行数据放置到坐标轴上,下图中的斜线为两个变量的和的所有情况




1.2 角度二(信号处理)

引用自:最容易理解的对卷积(convolution)的解释

截图来源:【小动画】彻底理解卷积【超形象】卷的由来,小元老师

【注:本人未学过信号与系统,只是简单套用,概念套用不一定正确】

我们设输入信号的函数为 f ( t ) f(t) f(t),信号衰减系数的函数为 g ( z − t ) g(z-t) g(zt)
则第9s时信号有多少?【0-9s期间不断有信号输入,期间也有信号衰减】
s ( 9 ) = ∫ 0 9 f ( t ) g ( 9 − t ) d t s(9)=\int_0^9f(t)g(9-t)dt s(9)=09f(t)g(9t)dt

为方便信号与其衰减系数对应,我们将信号函数图像翻转

左侧为某个单位脉冲输入,右侧为其对应的单位脉冲响应


左侧为多个单位脉冲输入,右侧为其分别对应的单位脉冲响应


“截断”后的情况



红色矩形的面积为当前时刻的脉冲总输出


1.3 角度三(图像处理)

图片来源:数字图像处理:理解什么是卷积(滤波)、卷积核以及相关参考资料

图像处理中的卷积运算规则如下图:


截图来源:Convolutions in image processing | Week 1 | MIT 18.S191 Fall 2020 | Grant Sanderson

移动的为卷积核,此例中左侧图形经过卷积运算后图像变得模糊

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