本文采用的定义在上一篇文章《【高等数学笔记】证明:闭包一定是闭集》中给出。
首先是孤立点。
定义 若
a
∈
A
a\in A
a∈A,但
a
∉
A
′
a\notin A'
a∈/A′,则称
a
a
a为
A
A
A的孤立点。
显然,根据定义,孤立点不是聚点,不属于
A
A
A的导集,但属于
A
A
A,因此属于
A
A
A的闭包。
在上一篇文章我们介绍了
取它的否命题:
推论
a
∉
A
′
⟺
∃
ε
>
0
,
U
˚
(
a
,
ε
)
∩
A
=
∅
a\notin A'\Longleftrightarrow \exists\varepsilon>0,\mathring{U}(a,\varepsilon)\cap A=\emptyset
a∈/A′⟺∃ε>0,U˚(a,ε)∩A=∅。
定理4 孤立点不属于内部。
证明:设
a
a
a是
A
A
A的孤立点。假设
a
∈
A
∘
a\in A^\circ
a∈A∘,则
∃
δ
>
0
\exists \delta>0
∃δ>0使得
U
(
a
,
δ
)
⊆
A
U(a,\delta)\subseteq A
U(a,δ)⊆A。然而,
∃
ε
>
0
,
U
˚
(
a
,
ε
)
∩
A
=
∅
\exists\varepsilon>0,\mathring{U}(a,\varepsilon)\cap A=\emptyset
∃ε>0,U˚(a,ε)∩A=∅,分类讨论:
当
δ
≤
ε
\delta\le\varepsilon
δ≤ε时,
U
˚
(
a
,
δ
)
⊆
U
˚
(
a
,
ε
)
\mathring{U}(a,\delta)\subseteq\mathring{U}(a,\varepsilon)
U˚(a,δ)⊆U˚(a,ε),则
U
˚
(
a
,
δ
)
∩
A
=
∅
\mathring{U}(a,\delta)\cap A=\emptyset
U˚(a,δ)∩A=∅,
U
(
a
,
δ
)
⊆
A
U(a,\delta)\subseteq A
U(a,δ)⊆A显然不成立;
当
δ
>
ε
\delta>\varepsilon
δ>ε时,由
U
˚
(
a
,
ε
)
∩
A
=
∅
\mathring{U}(a,\varepsilon)\cap A=\emptyset
U˚(a,ε)∩A=∅知
∃
p
∈
U
˚
(
a
,
ε
)
\exists p\in\mathring{U}(a,\varepsilon)
∃p∈U˚(a,ε)使得
p
∉
A
p\notin A
p∈/A,而
U
˚
(
a
,
ε
)
⊂
U
(
a
,
δ
)
\mathring{U}(a,\varepsilon)\subset U(a,\delta)
U˚(a,ε)⊂U(a,δ),所以
p
∈
U
(
a
,
δ
)
p\in U(a,\delta)
p∈U(a,δ),故也不成立。
综上,孤立点不属于内部。证毕。
定义 设
a
∈
R
n
a\in R^n
a∈Rn,
A
⊆
R
n
A\subseteq R^n
A⊆Rn,若
∀
δ
>
0
\forall \delta>0
∀δ>0,
U
(
a
,
δ
)
∩
A
≠
∅
U(a,\delta)\cap A\ne\emptyset
U(a,δ)∩A=∅,且
U
(
a
,
δ
)
∩
A
C
≠
∅
U(a,\delta)\cap A^C\ne\emptyset
U(a,δ)∩AC=∅,则
a
a
a是
A
A
A的边界点。
A
A
A的所有边界点组成的集合称为
A
A
A的边界,记作
∂
A
\partial A
∂A。
定义 设
A
⊆
R
n
,
a
∈
R
n
A\subseteq R^n,a\in R^n
A⊆Rn,a∈Rn,若
∃
δ
>
0
\exists \delta>0
∃δ>0,使得
U
(
a
,
δ
)
∩
A
=
∅
U(a,\delta)\cap A=\emptyset
U(a,δ)∩A=∅,则称
a
a
a是集合
A
A
A的外点。由
A
A
A的所有外点组成的集合称为
A
A
A的外部,记作
ext
A
\text{ext}\ A
ext A。
定理5
R
n
=
A
∘
∪
∂
A
∪
ext
A
R^n=A^\circ\cup\partial A\cup\text{ext}\ A
Rn=A∘∪∂A∪ext A。
证明:考察
U
(
a
,
δ
)
U(a,\delta)
U(a,δ)及内点、边界点、外点的定义即可。
定理6 孤立点是边界点。
证明:设
a
a
a是
A
A
A的孤立点。
∀
δ
>
0
\forall \delta>0
∀δ>0,
U
(
a
,
δ
)
∩
A
≠
∅
U(a,\delta)\cap A\ne\emptyset
U(a,δ)∩A=∅显然满足,因此
a
a
a不是外点。又由定理4知
a
a
a不是内点,故
a
a
a是边界点。
下面讨论闭包。
引理1
A
⊆
A
∘
∪
∂
A
A\subseteq A^\circ\cup\partial A
A⊆A∘∪∂A。
证明:只需证
∀
a
∈
A
\forall a\in A
∀a∈A,
a
∉
ext
A
a\notin\text{ext}\ A
a∈/ext A。而
∀
δ
>
0
\forall\delta>0
∀δ>0,
U
(
a
,
δ
)
∩
A
≠
∅
U(a,\delta)\cap A\ne\emptyset
U(a,δ)∩A=∅,故
a
∉
ext
A
a\notin\text{ext}\ A
a∈/ext A。证毕。
引理2
A
∘
⊆
A
A^\circ\subseteq A
A∘⊆A。
证明:设
a
∈
A
∘
a\in A^\circ
a∈A∘,则
∃
δ
>
0
\exists \delta>0
∃δ>0,使得
U
(
a
,
δ
)
⊆
A
U(a,\delta)\subseteq A
U(a,δ)⊆A,而
a
∈
U
(
a
,
δ
)
a\in U(a,\delta)
a∈U(a,δ),那么
a
∈
A
a\in A
a∈A。证毕。
定理7
A
ˉ
=
A
∘
∪
∂
A
\bar{A}=A^\circ\cup\partial A
Aˉ=A∘∪∂A。
证明:由定义,
A
ˉ
=
A
∪
A
′
\bar{A}=A\cup A'
Aˉ=A∪A′。所以需证
A
∪
A
′
=
A
∘
∪
∂
A
A\cup A'=A^\circ\cup\partial A
A∪A′=A∘∪∂A。
先证
A
ˉ
⊆
A
∘
∪
∂
A
\bar{A}\subseteq A^\circ\cup\partial A
Aˉ⊆A∘∪∂A。由引理1,只需证
A
′
⊆
A
∘
∪
∂
A
A'\subseteq A^\circ\cup\partial A
A′⊆A∘∪∂A。由定理1知,
a
∈
A
′
⟺
∀
ε
>
0
,
U
˚
(
a
,
ε
)
∩
A
≠
∅
a\in A'\Longleftrightarrow \forall\varepsilon>0,\mathring{U}(a,\varepsilon)\cap A\ne\emptyset
a∈A′⟺∀ε>0,U˚(a,ε)∩A=∅,故
∀
a
∈
A
′
\forall a\in A'
∀a∈A′,
a
∉
ext
A
a\notin \text{ext}\ A
a∈/ext A,即
A
′
∩
ext
A
=
∅
A'\cap\text{ext}\ A=\emptyset
A′∩ext A=∅,所以
A
′
⊆
A
∘
∪
∂
A
A'\subseteq A^\circ\cup\partial A
A′⊆A∘∪∂A,即
A
ˉ
⊆
A
∘
∪
∂
A
\bar{A}\subseteq A^\circ\cup\partial A
Aˉ⊆A∘∪∂A。
再证
A
∘
∪
∂
A
⊆
A
ˉ
A^\circ\cup\partial A\subseteq\bar{A}
A∘∪∂A⊆Aˉ。由引理2知
A
∘
⊆
A
A^\circ\subseteq A
A∘⊆A,故只需证
∂
A
⊆
A
ˉ
\partial A\subseteq\bar{A}
∂A⊆Aˉ。设
a
∈
∂
A
a\in\partial A
a∈∂A,分类讨论:
(1) 当
a
∈
A
a\in A
a∈A,显然有
a
∈
A
ˉ
a\in\bar{A}
a∈Aˉ;
(2) 当
a
∉
A
a\notin A
a∈/A,根据边界点的定义,
∀
δ
>
0
\forall \delta>0
∀δ>0,
U
(
a
,
δ
)
∩
A
≠
∅
U(a,\delta)\cap A\ne\emptyset
U(a,δ)∩A=∅,结合
a
∉
A
a\notin A
a∈/A有
U
˚
(
a
,
δ
)
∩
A
≠
∅
\mathring{U}(a,\delta)\cap A\ne\emptyset
U˚(a,δ)∩A=∅,由定理1知
a
∈
A
′
a\in A'
a∈A′。
证毕。