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【高等数学笔记】闭包、孤立点、导集、内点、边界的关系

本文采用的定义在上一篇文章《【高等数学笔记】证明:闭包一定是闭集》中给出。


首先是孤立点。
定义 a ∈ A a\in A aA,但 a ∉ A ′ a\notin A' a/A,则称 a a a A A A的孤立点。
显然,根据定义,孤立点不是聚点,不属于 A A A的导集,但属于 A A A,因此属于 A A A的闭包。

在上一篇文章我们介绍了

取它的否命题:
推论 a ∉ A ′ ⟺ ∃ ε > 0 , U ˚ ( a , ε ) ∩ A = ∅ a\notin A'\Longleftrightarrow \exists\varepsilon>0,\mathring{U}(a,\varepsilon)\cap A=\emptyset a/Aε>0,U˚(a,ε)A=
定理4 孤立点不属于内部。
证明:设 a a a A A A的孤立点。假设 a ∈ A ∘ a\in A^\circ aA,则 ∃ δ > 0 \exists \delta>0 δ>0使得 U ( a , δ ) ⊆ A U(a,\delta)\subseteq A U(a,δ)A。然而, ∃ ε > 0 , U ˚ ( a , ε ) ∩ A = ∅ \exists\varepsilon>0,\mathring{U}(a,\varepsilon)\cap A=\emptyset ε>0,U˚(a,ε)A=,分类讨论:
δ ≤ ε \delta\le\varepsilon δε时, U ˚ ( a , δ ) ⊆ U ˚ ( a , ε ) \mathring{U}(a,\delta)\subseteq\mathring{U}(a,\varepsilon) U˚(a,δ)U˚(a,ε),则 U ˚ ( a , δ ) ∩ A = ∅ \mathring{U}(a,\delta)\cap A=\emptyset U˚(a,δ)A= U ( a , δ ) ⊆ A U(a,\delta)\subseteq A U(a,δ)A显然不成立;
δ > ε \delta>\varepsilon δ>ε时,由 U ˚ ( a , ε ) ∩ A = ∅ \mathring{U}(a,\varepsilon)\cap A=\emptyset U˚(a,ε)A= ∃ p ∈ U ˚ ( a , ε ) \exists p\in\mathring{U}(a,\varepsilon) pU˚(a,ε)使得 p ∉ A p\notin A p/A,而 U ˚ ( a , ε ) ⊂ U ( a , δ ) \mathring{U}(a,\varepsilon)\subset U(a,\delta) U˚(a,ε)U(a,δ),所以 p ∈ U ( a , δ ) p\in U(a,\delta) pU(a,δ),故也不成立。
综上,孤立点不属于内部。证毕。
定义 a ∈ R n a\in R^n aRn A ⊆ R n A\subseteq R^n ARn,若 ∀ δ > 0 \forall \delta>0 δ>0 U ( a , δ ) ∩ A ≠ ∅ U(a,\delta)\cap A\ne\emptyset U(a,δ)A=,且 U ( a , δ ) ∩ A C ≠ ∅ U(a,\delta)\cap A^C\ne\emptyset U(a,δ)AC=,则 a a a A A A边界点 A A A的所有边界点组成的集合称为 A A A边界,记作 ∂ A \partial A A
定义 A ⊆ R n , a ∈ R n A\subseteq R^n,a\in R^n ARn,aRn,若 ∃ δ > 0 \exists \delta>0 δ>0,使得 U ( a , δ ) ∩ A = ∅ U(a,\delta)\cap A=\emptyset U(a,δ)A=,则称 a a a是集合 A A A外点。由 A A A的所有外点组成的集合称为 A A A外部,记作 ext  A \text{ext}\ A ext A
定理5 R n = A ∘ ∪ ∂ A ∪ ext  A R^n=A^\circ\cup\partial A\cup\text{ext}\ A Rn=AAext A
证明:考察 U ( a , δ ) U(a,\delta) U(a,δ)及内点、边界点、外点的定义即可。
定理6 孤立点是边界点。
证明:设 a a a A A A的孤立点。 ∀ δ > 0 \forall \delta>0 δ>0 U ( a , δ ) ∩ A ≠ ∅ U(a,\delta)\cap A\ne\emptyset U(a,δ)A=显然满足,因此 a a a不是外点。又由定理4知 a a a不是内点,故 a a a是边界点。


下面讨论闭包。
引理1 A ⊆ A ∘ ∪ ∂ A A\subseteq A^\circ\cup\partial A AAA
证明:只需证 ∀ a ∈ A \forall a\in A aA a ∉ ext  A a\notin\text{ext}\ A a/ext A。而 ∀ δ > 0 \forall\delta>0 δ>0 U ( a , δ ) ∩ A ≠ ∅ U(a,\delta)\cap A\ne\emptyset U(a,δ)A=,故 a ∉ ext  A a\notin\text{ext}\ A a/ext A。证毕。
引理2 A ∘ ⊆ A A^\circ\subseteq A AA
证明:设 a ∈ A ∘ a\in A^\circ aA,则 ∃ δ > 0 \exists \delta>0 δ>0,使得 U ( a , δ ) ⊆ A U(a,\delta)\subseteq A U(a,δ)A,而 a ∈ U ( a , δ ) a\in U(a,\delta) aU(a,δ),那么 a ∈ A a\in A aA。证毕。
定理7 A ˉ = A ∘ ∪ ∂ A \bar{A}=A^\circ\cup\partial A Aˉ=AA
证明:由定义, A ˉ = A ∪ A ′ \bar{A}=A\cup A' Aˉ=AA。所以需证 A ∪ A ′ = A ∘ ∪ ∂ A A\cup A'=A^\circ\cup\partial A AA=AA
先证 A ˉ ⊆ A ∘ ∪ ∂ A \bar{A}\subseteq A^\circ\cup\partial A AˉAA。由引理1,只需证 A ′ ⊆ A ∘ ∪ ∂ A A'\subseteq A^\circ\cup\partial A AAA。由定理1知, a ∈ A ′ ⟺ ∀ ε > 0 , U ˚ ( a , ε ) ∩ A ≠ ∅ a\in A'\Longleftrightarrow \forall\varepsilon>0,\mathring{U}(a,\varepsilon)\cap A\ne\emptyset aAε>0,U˚(a,ε)A=,故 ∀ a ∈ A ′ \forall a\in A' aA a ∉ ext  A a\notin \text{ext}\ A a/ext A,即 A ′ ∩ ext  A = ∅ A'\cap\text{ext}\ A=\emptyset Aext A=,所以 A ′ ⊆ A ∘ ∪ ∂ A A'\subseteq A^\circ\cup\partial A AAA,即 A ˉ ⊆ A ∘ ∪ ∂ A \bar{A}\subseteq A^\circ\cup\partial A AˉAA
再证 A ∘ ∪ ∂ A ⊆ A ˉ A^\circ\cup\partial A\subseteq\bar{A} AAAˉ。由引理2知 A ∘ ⊆ A A^\circ\subseteq A AA,故只需证 ∂ A ⊆ A ˉ \partial A\subseteq\bar{A} AAˉ。设 a ∈ ∂ A a\in\partial A aA,分类讨论:
(1) 当 a ∈ A a\in A aA,显然有 a ∈ A ˉ a\in\bar{A} aAˉ
(2) 当 a ∉ A a\notin A a/A,根据边界点的定义, ∀ δ > 0 \forall \delta>0 δ>0 U ( a , δ ) ∩ A ≠ ∅ U(a,\delta)\cap A\ne\emptyset U(a,δ)A=,结合 a ∉ A a\notin A a/A U ˚ ( a , δ ) ∩ A ≠ ∅ \mathring{U}(a,\delta)\cap A\ne\emptyset U˚(a,δ)A=,由定理1知 a ∈ A ′ a\in A' aA
证毕。

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