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介绍
单精度浮点数32位，双精度浮点数64位。其中单精度由1位符号位，8位指数位，23位尾数位组成。双精度由1位符号位，11位指数位，52位尾数位组成。
图示
以64位浮点数为例，sign表示符号位用S表示，exponent表示指数位用E表示，mantissa表示尾数用M表示。
浮点数形式
尾数之前其实还有一个隐藏位。尾数部分其实是小数部分，.xxxxx是52位二进制小数，如果浮点数形式是规格化隐藏位就是1，非规格化就是0。
用s、e、m分别代表符号位、指数位、尾数位的实际值，n代表浮点数，公式为：
n
=
(
−
1
)
s
×
m
×
2
e
(1)
n = (-1)^s \times m \times 2^e \tag{1}
n=(−1)s×m×2e(1)
特殊数值
特殊数值可以表示正负无穷大以及NaN。
| 符号位S(1) | 指数位E(11) | 尾数位M(52) | 结果 |
|---|---|---|---|
| 0 | 全是1 | 全是0 | Infinity |
| 1 | 全是1 | 全是0 | -Infinity |
| 0或1 | 全是1 | 不全是0 | NaN |
规格化
当尾数M全为0时最小，当尾数全为1时最大。所以
1.0
≤
(
m
=
1.
M
)
≤
2
−
2
−
52
(2)
1.0 \leq (m = 1.M) \leq 2 - 2^{-52} \tag{2}
1.0≤(m=1.M)≤2−2−52(2)
因为指数E不全为0也不全为1，所以
1
≤
E
≤
2
11
−
2
(3)
1 \leq E \leq 2^{11} - 2 \tag{3}
1≤E≤211−2(3)
指数的实际值 e 被解释为偏置形式的数，偏移量用bias表示
{
b
i
a
s
=
2
E
的
宽
度
−
1
−
1
e
=
E
−
b
i
a
s
(4)
\lbrace^{e = E - bias}_{bias = 2^{E的宽度-1} - 1} \tag{4}
{bias=2E的宽度−1−1e=E−bias(4)
所以偏移量bias = 2^(11 - 1) - 1 = 1023，所以 e = E - 1023
n
=
(
−
1
)
S
×
1.
M
×
2
E
−
1023
(5)
n = (-1)^S \times 1.M \times 2^{E - 1023} \tag{5}
n=(−1)S×1.M×2E−1023(5)
不算符号位，n的最大值是 (2 - 2^(-52)) * 2^1023 也就是最大浮点数。
最小值是1.0 * 2^(-1022)。
非规格化
当尾数M全为0时最小，当尾数全为1时最大。所以
0
≤
(
m
=
0.
M
)
≤
1
−
2
−
52
(6)
0 \leq (m = 0.M) \leq 1 - 2^{-52} \tag{6}
0≤(m=0.M)≤1−2−52(6)
指数E全是0，e的偏置形式为
e
=
1
−
b
i
a
s
=
−
1022
(7)
e = 1 - bias = -1022 \tag{7}
e=1−bias=−1022(7)
n = ( − 1 ) S × 0. M × 2 − 1022 (8) n = (-1)^S \times 0.M \times 2^{-1022} \tag{8} n=(−1)S×0.M×2−1022(8)
当M全是0时，n等于0。
当M不全是0时，不算符号位，n的最小值是 2^(-52) * 2^(-1022) 也就是最小浮点数。最大值是 (1 - 2^(-52)) * 2^(-1022)。
总结
| 浮点数形式 | 指数E(11) | 尾数M(52) | 浮点数值 | 范围(不考虑符号位) |
|---|---|---|---|---|
| 非规格化 | 全是0 | 全是0 | 0 | 0 |
| 非规格化 | 全是0 | 不全为0 | 公式(8) | 2(-52)*2(-1022) ~ (1 - 2^(-52)) * 2^(-1022) |
| 规格化 | 不全为0也不全为1 | 任意值 | 公式(5) | 2^(-1022) ~ (2 - 2^(-52)) * 2^1023 |
| 特殊数值 | 全是1 | 全是0 | 无穷大 | 无穷大 |
| 特殊数值 | 全是1 | 不全为0 | NaN | NaN |
