题目描述
这是 LeetCode 上的 2049. 统计最高分的节点数目 ,难度为 中等。
Tag : 「图论」、「线性 DP」
给你一棵根节点为 的 二叉树 ,它总共有 个节点,节点编号为 到 。
同时给你一个下标从 开始的整数数组 表示这棵树,其中 是节点 的父节点。由于节点 是根,所以 。
一个子树的 大小 为这个子树内节点的数目。每个节点都有一个与之关联的 分数 。求出某个节点分数的方法是,将这个节点和与它相连的边全部 删除 ,剩余部分是若干个 非空 子树,这个节点的 分数 为所有这些子树 大小的乘积 。
请你返回有 最高得分 节点的 数目 。
示例 1:
输入:parents = [-1,2,0,2,0]
输出:3
解释:
- 节点 0 的分数为:3 * 1 = 3
- 节点 1 的分数为:4 = 4
- 节点 2 的分数为:1 * 1 * 2 = 2
- 节点 3 的分数为:4 = 4
- 节点 4 的分数为:4 = 4
最高得分为 4 ,有三个节点得分为 4 (分别是节点 1,3 和 4 )。
示例 2:
输入:parents = [-1,2,0]
输出:2
解释:
- 节点 0 的分数为:2 = 2
- 节点 1 的分数为:2 = 2
- 节点 2 的分数为:1 * 1 = 1
最高分数为 2 ,有两个节点分数为 2 (分别为节点 0 和 1 )。
提示:
- 对于,有
- 表示一棵二叉树。
建图 + DFS
为了更具有一般性,我们假定该树为多叉树。
由于题目给定的 parents
数组仅支持我们快速查找某个节点的父节点,为了方便遍历整棵树,我们先使用「邻接表」将图(树)建起来。
然后使用 DFS
预处理出 f
数组,其中 代表以节点 为根节点的子树所包含的节点数量。
考虑如何计算「删除某个节点 后,剩余连通块的数量,以及每个连通块的节点数量」,根据节点 是否为根节点进行分情况讨论:
- 若为根节点,删除后的连通块的数量为「的出边数量」,假定共有条出边,根据题目定义,对应的大小为各个连通块的节点数量乘积:
- 若 不是根节点,删除后的连通块的数量为「 的出边数量 + 」,其中 代指「以 节点的父节点所在的整体连通块」。
假定节点 共有 条出边,根据题目定义,对应的 大小 为「(各个连通块的节点数量乘积) ( 节点的父节点所在的整体连通块大小)」,而「 节点的父节点所在的整体连通块大小」,利用容斥原理可知为 ,含义为「从原树中减掉以节点 为根节点的子树」的部分,即最终 大小 为:
代码:
class Solution {
static int N = 100010, M = N * 2;
static int[] he = new int[N], e = new int[M], ne = new int[M];
static int[] f = new int[N];
int idx;
void add(int a, int b) {
e[idx] = b;
ne[idx] = he[a];
he[a] = idx++;
}
public int countHighestScoreNodes(int[] parents) {
Arrays.fill(he, -1);
int n = parents.length;
for (int i = 1; i < n; i++) add(parents[i], i);
dfs(0);
long max = 0;
int ans = 0;
for (int x = 0; x < n; x++) {
long cur = 1;
for (int i = he[x]; i != -1; i = ne[i]) cur *= f[e[i]];
if (x != 0) cur *= n - f[x];
if (cur > max) {
max = cur; ans = 1;
} else if (cur == max) {
ans++;
}
}
return ans;
}
int dfs(int u) {
int ans = 1;
for (int i = he[u]; i != -1; i = ne[i]) ans += dfs(e[i]);
f[u] = ans;
return ans;
}
}
- 时间复杂度:建图复杂度为;通过
DFS
预处理f
数组复杂度为,其中为边数,对于本题(二叉树)而言,点边数量级相等,因此DFS
预处理的复杂度为;模拟删除任意点并统计答案的复杂度为,对于本题(二叉树)而言,数量级为。整体复杂度为 - 空间复杂度:
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.2049
篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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