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数据结构 最小生成树之Kruskal算法


​Kruskal​​算法

克鲁斯卡尔(​​Kruskal​​)算法,是用来求加权连通图的最小生成树的算法

大话数据结构定义

假设 N=(V,{E})N=(V,{E})。图中每个顶点自成一个连通分量。在​​E​​​中选择代价最小的边,若该边依附的顶点落在​​T​​​中不同的连通分量上,则将此边加入到​​T​​​中,否则社区此边而选择下一条代价最小的边,以此类推,直至​​T​​中所有顶点都在同一连通分量上为止。

基本思想

按照权值从小到大的顺序选择​​n - 1​​​条边,并保证这​​n - 1​​条边不构成回路

具体做法

首先构造一个只含​​n​​个顶点的森林,然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中,并使森林不产生回路,直至森林变成过一棵树为止

​Kruskal​​算法图解

数据结构 最小生成树之Kruskal算法_权值

以上图​​G4​​​为例,使用克鲁斯卡尔算法进行演示实现最小生成树,用​​parent​​表示

数据结构 最小生成树之Kruskal算法_最小生成树_02

第零步: 将邻接矩阵转换为边表数组,并且按权值大小排序

第一步: 将边<E,F><E,F>加入最小生成树中

边<E,F><E,F>的权值最小,故将其加入最小生成树

第二步: 将边<C,D><C,D>加入最小生成树中

上一步操作后, 边<C,D><C,D>的权值最小,故将其加入最小生成树

第三步: 将边<D,E><D,E>加入最小生成树中

上一步操作后, 边<D,E><D,E>的权值最小,故将其加入最小生成树

第四步: 将边<B,F><B,F>加入最小生成树中

上一步操作后,边<C,E><C,E>

第五步:将边<E,G><E,G>加入到最小生成树中

上一步操作后,边<E,G><E,G>的权值最小,故将其加入到最小生成树中

第六步: 将边<A,B><A,B>加入到最小生成树中

上一步操作后,边<F,G><F,G>加入

此时,最小生成树构造完成,含有的依次为<E,F><C,D><D,E><B,F><E,G><A,B><E,F><C,D><D,E><B,F><E,G><A,B>

​Kruskal​​算法要点

  1. 对图的所有边按照权值大小排序

此问题可通过代码实例理解

  • 将边添加到最小生成树中,如何判断是否形成回路
  • 通过记录每个顶点在最小生成树中的终点。终点即在最小生成树中与它连通的最大顶点。每次添加一条边到最小生成树中时,判断该边的两个顶点的终点是否重合,重合则构成回路。
  • 数据结构 最小生成树之Kruskal算法_最小生成树_03

  • 在将<E,F><C,D><D,E><E,F><C,D><D,E>加入到最小生成树中后,这几条边的顶点就都有了终点
  • ​C​​​的终点是​​F​
  • ​D​​​的终点是​​F​
  • ​E​​​的终点是​​F​
  • ​F​​​的终点是​​F​

关于终点,就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后;某个顶点的终点就是”与它连通的最大顶点”。 虽然边<C,E><C,E>权值最小,但终点都是​​F​​, 故会形成回路

​Kruskal​​算法代码

​Edge​​边集数组结构

typedef struct
{
int begin;
int end;
int

算法

/* 生成最小生成树 */
void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)
{
int i, j, n, m;
int k = 0;
int parent[MAXVEX]; /* 定义一数组用来判断边与边是否形成环路 */
Edge edges[MAXEDGE]; /* 定义边集数组,edge的结构为begin,end,weight,均为整型 */

/* 用来构建边集数组并排序********************* */
for(i = 0; i < G.numVertexes - 1; i++)
{
for(j = i + 1; j < G.numVertexes; j++)
{
if(G.arc[i][j] < INF)
{
edges[k].begin = i;
edges[k].end = j;
edges[k].weight = G.arc[i][j];
k++;
}
}
}
sort(edges, &G);
/* ******************************************* */

printf("打印最小生成树:\n");

for(i = 0; i < G.numVertexes; i++)
parent[i] = 0; /* 初始化数组值为0 */

for(i = 0; i < G.numEdges; i++) /* 循环每一条边 */
{
n = Find(parent, edges[i].begin);
m = Find(parent, edges[i].end);
if(n != m) /* 假如n与m不等,说明此边没有与现有的生成树形成环路 */
{
parent[n] = m; /* 将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中。 表示此顶点已经在生成树集合中*/
printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
}
}

}

算法源码

​​邻接矩阵源码​​

参考资料

  • ​​Kruskal算法(一)之 C语言详解​​


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