常见问题

最小点覆盖、最大独立集、最小路径点覆盖(最小路径重复点覆盖)；

注意

二分图一般是指无向图，后续例题虽然存在有向图，但是思路还是无向图的；

常见性质

• 一个图是二分图等价于图中不存在奇数环等价于染色法不存在矛盾
• 最大匹配数 = 最小点覆盖 = 总点数 - 最大独立集 = 总点数 - 最小路径覆盖

例题

关押罪犯

传送门
二分 + 染色法判定二分图

题面

思路

把罪犯看成点，把仇恨关系看成边，仇恨值看成边权；

那么问题就转化为将所有点分成两组，使得各组内边的权重的最大值尽可能小；

因为这是一个最大值最小化的问题，我们考虑用二分来解决；

假设当前二分的限制为mid；

判断能否将所有点分成两组，使得所有权值大于mid的边都在组间，而不在组内。也就是判断由所有点以及所有权值大于mid的边构成的新图是否是二分图；

判断二分图我们使用染色法，时间复杂度为$O(n+m)$，$n$是点数，$m$是边数；

那么当 $mid\in [ans,10^9]$时，所有边权大于$mid$的边，必然是所有边权大于$ans$的边的子集，因此由此构成的新图也是二分图。

当$mid\in [0,ans-1]$时，由于$ans$是新图可以构成二分图的最小值，因此由大于$mid$的边构成的新图一定不是二分图。

Code

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <utility>

using namespace std;

typedef long long ll;

typedef pair<int,int> pii;

const int N = 2e4 + 10;

int n,m;
vector<pii> G[N];
int color[N];//-1未染色，0白色，1黑色
bool dfs(int u,int c,int val){
    color[u] = c;
    for(auto to : G[u]){
        int v = to.first,w = to.second;
        if(w <= val) continue;//只考虑边权＞val的边
        if(color[v] != -1){
            if(color[v] == c) return false;
        }
        else{//v未被染色，我们去染v
            if(!dfs(v,c^1,val)) return false;
        }
    }
    return true;
}
bool check(int val){
    //染色法判断二分图
    for(int i=1;i<=n;++i) color[i] = -1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        if(color[i] == -1)
            if(!dfs(i,0,val)) return false;
    return true;
}

void solve(){
    cin >> n >> m;
    while(m--){
        int u,v,w;
        cin >> u >> v >> w;
        G[u].push_back({v,w});
        G[v].push_back({u,w});
    }
    int L = 0,R = 1e9;
    while(L < R){
        int mid = (L + R) >> 1;
        if(check(mid)){
            //只考虑边权大于mid的边，能构成二分图
            R = mid;
        }
        else L = mid + 1;
    }
    cout << L << '\n';
}

signed main(){
    std::ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
    solve();
    return 0;
}