欧拉函数

题目

活动 - AcWing 

AcWing 873. 欧拉函数 - AcWing

解释

• 根据欧拉函数的形式，可知即求分解质因数，时间复杂度为O(sqrt(n))
• 欧拉函数的推导证明可以看视频里的方法（容斥原理）
• 或者参考文章里的数学证明法

代码段

#include<iostream>
using namespace std;
int n;
int main()
{
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        int x;
        cin>>x;
        int res=x;
        for(int i=2;i<=x/i;i++)
        {
            if(x%i==0)
            {
                res=res/i*(i-1);
                while(x%i==0)x/=i;
            }
        }
        if(x>1)res=res/x*(x-1);
        cout<<res<<endl;
    }
    
}

容斥原理

题目

活动 - AcWing 

AcWing 890. 能被整除的数 - AcWing

解释

• 
• 中间的7被减了三次加了三次，因此最后还需要加上它
• 以此类推
• n个圈相并=1个圈-2个圈+3个圈-4个圈+5个圈……
•  因此相当于对于质数进行组合选择，一共有1-2^m-1种选法
• 通过对这些选法方案的遍历然后对res更新
• 求1-n中t的倍数有几个，只要用n/t即可（向下取整）

代码段

#include<iostream>
using namespace std;
int n,m;
int p[20];
#define ll long long

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<m;i++)cin>>p[i];
    ll res=0;
    for(int i=1;i<1<<m;i++)
    //这里表示一共有1-2^m-1种选法，对应其二进制数
    {
        ll cnt=0,t=1;
        for(int j=0;j<m;j++)
        {//对于每一个质数的选取方案通过j来访问遍历
            if(i>>j&1)
            {
                 cnt++;
                 if(t*p[j]>n)
                 {
                     t=-1;
                     break;
                 }
                 //如果当前方案的最小公倍数已经超过范围了，则跳过此方案
                 t*=p[j];
            }
        }
        if(t!=-1)
        {
            if(cnt&1)
            res+=n/t;
            //寻找在1-n中有多少t的公倍数
            else
            res-=n/t;
        }
    }
    cout<<res<<endl;
}