【数论】欧拉函数（数论）

欧拉函数（数论）

定义

欧拉函数，$\phi (n)$，表示小于等于 $n$ 且与 $n$ 互质的数的个数。

欧拉函数的值

等价形式

代码实现：

int euler_phi(int n) {
  int ans = n;
  for (int i = 2; i * i <= n; i++)
    if (n % i == 0) {
      ans = ans / i * (i - 1);
      while (n % i == 0) n /= i;
    }
  if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
  return ans;
}

性质

1. 若 n 为质数，则 $\phi (n)=n-1$。

2. 欧拉函数是积性函数。若 $\gcd (a,b)=1$，则 $\phi (a\times b)=\phi (a)\times \phi (b)$。

3. $n={\sum }_{d\mid n}\phi (d)$。（$d|n$ 表示 n 能被 d 整除）

4. 若 $n=p^k$， $p$ 为质数，则 $\phi (n)=p^k-p^{k-1}$。

5. 欧拉定理：若 $\gcd (a,m)=1$，则 $a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$。

6. 拓展欧拉定理：

$$a^b\equiv \{\begin{array}{ll}{a}^{b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\phi (p)},& \gcd (a,p)=1\\ a^b,& \gcd (a,p)\ne 1,b<\phi (p)\\ a^{b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\phi (p)+\phi (p)},& \gcd (a,p)\ne 1,b\ge \phi (p)\end{array}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$

7. 费马小定理：
   若 $p$ 为素数，$\gcd (a,p)=1$，则 $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$。
   另一个形式：对于任意整数 $a$，有 $a^p\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$。