题目：
给定一个二维矩阵 matrix，以下类型的多个请求：
计算其子矩形范围内元素的总和，该子矩阵的左上角为 (row1, col1) ，右下角为 (row2, col2) 。
实现 NumMatrix 类：
NumMatrix(int[][] matrix) 给定整数矩阵 matrix 进行初始化
int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2)
返回左上角 (row1, col1) 、右下角 (row2, col2) 的子矩阵的元素总和。
输入:
["NumMatrix","sumRegion","sumRegion","sumRegion"]
[[[[3,0,1,4,2],[5,6,3,2,1],[1,2,0,1,5],[4,1,0,1,7],[1,0,3,0,5]]],[2,1,4,3],[1,1,2,2],[1,2,2,4]]
输出:
[null, 8, 11, 12]
解释:
NumMatrix numMatrix = new NumMatrix([[3,0,1,4,2],[5,6,3,2,1],[1,2,0,1,5],[4,1,0,1,7],[1,0,3,0,5]]]);
numMatrix.sumRegion(2, 1, 4, 3); // return 8 (红色矩形框的元素总和)
numMatrix.sumRegion(1, 1, 2, 2); // return 11 (绿色矩形框的元素总和)
numMatrix.sumRegion(1, 2, 2, 4); // return 12 (蓝色矩形框的元素总和)
提示：
m == matrix.length
n == matrix[i].length
1 <= m, n <= 200
-105 <= matrix[i][j] <= 105
0 <= row1 <= row2 < m
0 <= col1 <= col2 < n
最多调用 104 次 sumRegion 方法
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思考：
对于一个二维矩阵，可能由于输入不同的坐标而反复求不同子矩阵的数字之和，
所以需要尽可能快的实现子矩阵的数字求和
用前缀和的方式可快速求子矩阵的数字和
为了代码实现上方便，特意在最左边一列，最上边一列空出来
先根据原矩阵，求出前缀和矩阵，然后通过观察得知公式
sum[row2 + 1][col2 + 1] - sum[row1][col2 + 1] - sum[row2 + 1][col1] + sum[row1][col1]
举例来说上图红框中的和，就是上面第三图当中黄色圈出来的数字28-8-9+3 = 14
定义一个数组sums记录前缀和，sums[i][j]为二维矩阵中前i行j列所组成子矩阵的所有元素之和；
其中第一行和第一列空出来防止遍历过程中i-1、j-1会出现数组越界的情况；
从上往下逐行遍历，每行中从左往右遍历每个元素；
前i行j列所组成子矩阵的元素之和 = 前i-1行j列所组成子矩阵的元素之和 + 第i行前j个元素之和；
第i行前j个元素之和 =
前i行j-1列所组成子矩阵的元素之和 - 前i-1行j-1列所组成子矩阵的元素之和 + 当前遍历第i行第j列元素；
所以：sums[i][j] = sums[i-1][j] + sums[i][j-1] - sums[i-1][j-1] + matrix[i-1][j-1];
求左上角 (row1, col1) 、右下角 (row2, col2) 的子矩阵的元素总和：
所求总和 =
前row2行col2列所组成子矩阵的元素之和
- 前row1-1行col2列所组成子矩阵的元素之和
- 前row2行col1-1列所组成子矩阵的元素之和
+ 前row1-1行col1-1列所组成子矩阵的元素之和（这部分前面所减两个子矩阵都包括，所以减了两次，故应再加上）
即返回：sums[row2+1][col2+1] - sums[row1][col2+1] - sums[row2+1][col1] + sums[row1][col1]。
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class NumMatrix {
private int[][] sum;
public NumMatrix(int[][] matrix) {//防止遍历过程中i-1、j-1会出现数组越界
sum = new int[matrix.length + 1][matrix[0].length + 1];//定义sum数组 多出来一行一列
for (int i = 1; i < matrix.length + 1; i++) {//0行0列默认为零
for (int j = 1; j < matrix[0].length + 1; j++) {
sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + matrix[i - 1][j - 1];//!
}//前i行j列所组成子矩阵的元素之和 = 前i-1行j列所组成子矩阵的元素之和 + 第i行前j个元素之和；
}//第i行前j个元素之和 =
}// 前i行j-1列所组成子矩阵的元素之和 - 前i-1行j-1列所组成子矩阵的元素之和 + 当前遍历第i行第j列元素；
public int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) {
return sum[row2 + 1][col2 + 1] - sum[row1][col2 + 1] - sum[row2 + 1][col1] + sum[row1][col1];//!
}
}
/**
* Your NumMatrix object will be instantiated and called as such:
* NumMatrix obj = new NumMatrix(matrix);
* int param_1 = obj.sumRegion(row1,col1,row2,col2);
*/
LC
