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欧拉函数(重要性质)


欧拉函数:对于一个正整数n,小于n且和n互质的正整数(包括1)的个数,记作φ(n) 。

通式:

 

其中p1, p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数。

φ(1)=1(和1​​互质​​的数(小于等于1)就是1本身)。

注意:每种质因数只一个。 比如12=2*2*3那么φ(12)=12*(1-1/2)*(1-1/3)=4

若n是质数p的k次幂,

 

 

,因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质。

设n为正整数,以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数,称为n的欧拉函数值

φ:N→N,n→φ(n)称为欧拉函数。

欧拉函数是​​积性函数​​——若m,n互质,

 

特殊性质:当n为奇数时,

 

 

, 证明与上述类似。

若n为质数则

 

与欧拉定理和费马小定理的关系

对任何两个互质的正整数a, m(m>=2)有

即欧拉定理

当m是质数p时,此式则为:

即费马小定理。

参考文献:百度百科

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