洛谷P1929 迷之阶梯【DP】【黄】

Date：2022.03.15
题目描述
在经过地球防卫小队的数学家连续多日的工作后，外星人发的密码终于得以破解。它 告诉我们在地球某一处的古老遗迹中，存在有对抗这次灾难的秘密武器。防卫小队立即赶 到这处遗迹。要进入遗迹，需要通过一段迷之阶梯。登上阶梯必须要按照它要求的方法， 否则就无法登上阶梯。它要求的方法有以下三个限制：
如果下一步阶梯的高度只比当前阶梯高 1，则可以直接登上。
除了第一步阶梯外，都可以从当前阶梯退到前一步阶梯。
当你连续退下 k 后，你可以一次跳上不超过当前阶梯高度 +$2^k$ 的阶梯。比如说你现 在位于第 j 步阶梯，并且是从第 j+k 步阶梯退下来的，那么你可以跳到高度不超过当前阶 梯高度+$2^k$
的任何一步阶梯。跳跃这一次只算一次移动。
开始时我们在第一步阶梯，由于时间紧迫，我们需要用最少的移动次数登上迷之阶梯。 请你计算出最少的移动步数。
输入格式
第一行：一个整数 N，表示阶梯步数。
第二行：N 个整数，依次为每层阶梯的高度，保证递增。
输出格式
第一行：一个整数，如果能登上阶梯，输出最小步数，否则输出-1。
输入输出样例
输入 #1复制
5
0 1 2 3 6
输出 #1复制
7
说明/提示
【样例解释】
连续登 3 步，再后退 3 步，然后直接跳上去。
【数据范围】
对于 50%的数据：1≤N≤20。
对于 100%的数据：1≤N≤200。
对于 100%的数据：每步阶梯高度不超过 2^31-1

思路①：wa，但是大体思路是对的。
$f[i]:$登上$i$个阶梯所需最小步数。
状态转移方程：
①$a[i]==a[i-1]+1时（即一步能到下一格）：f[i]=min(f[i],f[i-1]+1);$
代码如下：
②一般情况（不论一步能不能到下一格）：此时显然可退到任意格，再跳到第$i$格，因此枚举由$i-1$（$i$的上一步，也是当前所在点，这也正是问题所在，开始以为只能在当前所在点往前退hh）。因此只需枚举退到的点$j【j\in [1,i-2]】，$$f[i]=min(f[i],f[i-1]+(i-1-j+1))【在(1<<(i-1-j))+a[j]>=a[i]前提下】$。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
typedef long long LL;
LL n,m,p,k,t,a[N],sum[N],f[N];
int main()
{
    cin>>n;
    memset(f,0x3f,sizeof f);f[1]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]==a[i-1]+1) f[i]=min(f[i-1]+1,f[i]);
        for(int j=1;j<=i-2;j++)
            if((1<<(i-1-j))+a[j]>=a[i])
                f[i]=min(f[i],f[i-1]+(i-1-j+1));
    }
    if(f[n]!=0x3f3f3f3f3f3f3f3f) cout<<f[n];
    else cout<<"-1";
    return 0;
}

思路②：显然1漏判了，因为后退再跳可能是从任意点后退再跳到$i$的，而并非只是从$i-1$。因此我们考虑从每个点$j【j\in [1,i-1]】$后退$k【k\in [1,j-1]】$步再跳到$i$的情况。(思想一样不贴方程了
代码如下:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
typedef long long LL;
LL n,m,p,k,t,a[N],sum[N],f[N];
int main()
{
    cin>>n;
    memset(f,0x3f,sizeof f);f[1]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]==a[i-1]+1) f[i]=min(f[i-1]+1,f[i]);
        for(int j=1;j<=i-1;j++)
            for(int k=1;k<=j-1;k++)
            if((1<<(k))+a[j-k]>=a[i])
                f[i]=min(f[i],f[j]+k+1);
    }
    if(f[n]!=0x3f3f3f3f3f3f3f3f) cout<<f[n];
    else cout<<"-1";
    return 0;
}