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Lecture06:市场出清问题的鲁棒方法

哈哈镜6567 2022-01-05 阅读 44

目录

1 鲁棒市场出清问题

1.1 鲁棒优化模型

1.2 不确定集

2 自适应鲁棒市场出清优化问题

2.1 模型构建

2.2 对偶方法

2.3 如何处理min-max问题

3 机会约束方法 CCP

3.1 模型构建

3.2 求解方法

4 分布式鲁棒优化

4.1 模型构建

4.2 随机规划、鲁棒优化和分布式鲁棒优化的关系:

4.3 如何构建一个歧义集

 4.3.1 基于度量的方法

4.3.2 基于矩的方法


本系列已发表文章列表:

Lecture01:市场出清问题的优化建模

Lecture1b: 如何由原始线性规划模型得到最优条件和对偶问题

Lecture02:均衡问题-优化问题以及KKT等价

Lecture03: 市场出清机制的理想特性

Lecture05:随机市场出清_运筹码仓的博客-CSDN博客


本节目标:

  1. 定义鲁棒优化问题
  2. 处理鲁邦问题的三种方法
  3. 求解鲁邦优化问题
  4. 定义机会约束规划并描述它与鲁棒优化和随机规划的区别
  5. 定义分布式鲁棒优化并描述两个不同的歧义集

首先介绍几份参考资料:

1 鲁棒市场出清问题

1.1 鲁棒优化模型

我们优化的不是期望,而是最坏的情形。

基于场景的鲁棒市场出清问题的数学模型如下:

 优化上述模型得到的解为:

 鲁棒模型得到了更高的成本,但他满足了所有的场景。

在随机规划中,我们使用一组场景来描述不确定集;如果更换场景组,将可能得到完全不同的解。因此,表征场景集合的选择至关重要。但是,实际中,我们找到准确表征不确定性的场景集合是不现实的。

在鲁棒优化中,得到的解对于最差的场景是最佳的,对其他别的场景仅仅是可行的。因此,我们在鲁棒优化中不适用场景,而是使用不确定集来描述不确定性;最终实现的是在给定的不确定集下,优化最坏的情形。

1.2 不确定集

一维的情形:

 

 二维的情形:最糟糕的情况出现在(0,0)位置。

我们的目标是:

  1. 对于不确定集中最糟糕的情形,生成最优解
  2. 最优解对不确定集内的任何实例,都是可行的

 实际的不确定集要远比BOX不确定复杂。我们需要根据经验数据,构造不确定集。

2 自适应鲁棒市场出清优化问题

2.1 模型构建

那么我们如何构建一个不包含任何场景的鲁棒优化问题呢?

首先针对实时调度问题:

注解:

  1.  如果对 W 取最糟糕的情况,Inner problem是可行的;那么,对于不确定集中的所有情况都是可行。其原因为:Inner problem 是一个凸问题,最差的 W 时可行,那么随着W的变化,Inner problem是单调的。但是如果保证不了Inner problem的凸性,则无法保证不确定集对所有的Inner problem是可行的。
  2. Outer problem 最大化是因为,我们要优化最坏的成本。
  3. W 对于Inner problem 是参数,对Outer problem是决策变量

进一步,我们可以写出整个问题的模型:

 这是一个 min-max-min 的问题,十分难以求解。我们应该如何处理它呢?有两种策略:

  1. 将Inner problem进行对偶化,将RT阶段的问题转为max-max问题;从而实现将RT合并为一个问题
  2. 将Inner problem使用KKT条件代替,将问题转化为一个min-max的问题。

2.2 对偶方法

下面介绍对偶的方法,原始Inner problem为:

 其中 W 和 DA 是参数;进行对偶化,我们得到:

 替换到原始模型中,有:

 替换之后,合并max-max,有:

 此时,我们得到了一个min-max问题。现在W和原始Inner problem的对偶变量,变成了合并问题的决策变量。这样我们得到了一个非线性规划问题。但是,如果我们固定一个变量,则合并问题就可以变成一个线性问题。

因为线性规划的可行解一定是在可行域的顶点上,我们只需讨论它的顶点即可。

顶点的个数为2^{N}个。注意:合并问题虽然由 W和原始Inner problem的对偶变量 联合构成可行域,但是他们在第一阶段决策是相互独立。

2.3 如何处理min-max问题

如有兴趣,可参考阅读以下文献: 

总结:

  1. 我们得到的最优解是不确定集中最差情况的解。
  2. 对于不确定集中的其他解,这个最优解仅仅是一个可行解
  3. 我们如何减少方案的保守程度:构架一个结构良好的不确定集。

3 机会约束方法 CCP

在这种优化问题下,一些约束是在  \epsilon  水平上,以一定的概率被满足;它通过允许一些约束在不确定集中,违背 \epsilon 个情形,拓展了鲁棒优化模型的可行域。

3.1 模型构建

机会约束的表述形式为:

 如果  \epsilon 等于0 ,机会约束问题将转化为鲁棒优化问题。

回到我们的电力模型,它对应的机会约束模型为:

 在上述问题中,机会约束之间是相互独立(individual)的,而不是联合(joint)的。

3.2 求解方法

方法一:分析重构方法

该重构方法得到的是一个second‐order code program (SOCP)问题,在一定情况下,可退化为线性规划问题。

方法二:基于采样的方法

方法特点:不假设任何先验分布,目标函数中的期望值通过采样随机近似方法SAA处理,机会约束通过采样和近似的方法处理。

采样数目采用如下公式来确定:

 针对一个标准的 IEEE 24‐node RTS system with 6 wind farms, β=0.0001, ε=0.05 and 24 time periods,需要采用次数 N = 86,956 samples。而且我们还必须保证样本外分析能够实施,因此实际采样数目可能远大于计算出来的N值。这又带来了另外一个问题,过多的采样数目对应的就是维度灾难。未来,我们将使用分解技术进行处理。

因为我们知道N,当然,我们也就可以通过N来拟合出不确定集。从而就可以将机会约束问题转化Wie鲁棒优化问题。相反,如果我们想降低鲁棒优化问题的保守型,我们也可以将其转化为一个机会约束模型。

当N比较小,我们又不知道概率分布的假设时,我们需要使用分布式鲁棒优化来处理不确定性。

4 分布式鲁棒优化

DRO不假设不确定性符合任何既定的概率分布,它使用一个分布簇来描述不确定性。我们依旧假设以某种水平满足某些约束。鲁棒优化与分布式鲁棒优化的区别在于:

  1. RO 是基于给定的不确定集(uncertainty set); DRO 是基于给定的歧义集(ambiguity set)
  2. RO 优化的是最糟糕情况的成本;DRO 优化的是最糟糕情形的期望成本

4.1 模型构建

回到我们的例子,对应的DRO模型为:

 歧义集中只有一个分布时,问题等价于一个随机规划问题。

解DRO问题,我们实际要做的是:

  1. 确定歧义集中最差的分布,优化相应的最差分布的期望。【So, we determine the worst distribution within the ambiguity set, and optimize the problem in expectation with respect to such a worst distribution!】
  2. 最糟糕分布得到的分布式机会约束,未必同时满足其他分布式机会约束或目标函数。【The worst distribution obtained for a DRCC might not be necessarily the same as that of
    other DRCCs or that of the objective function!】

4.2 随机规划、鲁棒优化和分布式鲁棒优化的关系:

  • By enlarging the ambiguity set, does the solution of DRO converges towards the solution of a robust optimization?
  • By shrinking the ambiguity set, does the solution of DRO converges towards the solution of a stochastic program?
  • DRO somehow provided a generalized model, linking robust optimization and stochastic programming!

4.3 如何构建一个歧义集

有两种方法:其一为,基于度量的歧义集;其二为,基于矩的歧义集。

 4.3.1 基于度量的方法

Wasserstein distance,被用来衡量两个分布有多接近。

 黄色圆球的中心表示我们的历史数据,ρ 表示我们的经验分布的半径,由此构建一个歧义集。

建立的问题是一个凸问题,可以使用一些技术进行线性化。

4.3.2 基于矩的方法

 参考资料:

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