广义前缀和的应用_Trie树+滑动窗口

最大异或和

前缀和适用范围 XOR性质

首先说明以下XOR是异或的意思,写作$$\oplus$$
这里我们定义广义前缀和:
$$\text{在a}\left[0\right]\sim \mathrm{a}\left[\mathrm{n}\right]\text{序列上定义运算}\cdot \text{则前缀和表示为a}\left[0\right]\cdot \mathrm{a}\left[1\right]\cdot \mathrm{a}\left[3\right]\cdots \mathrm{a}\left[\mathrm{n}\right]$$
$$\text{只要}\cdot \text{能够进行逆运算就可以使用前缀和的性质}$$
$$\text{对于此处的}\oplus ,\text{可以证明}\left(\mathrm{k}\oplus \mathrm{n}\right)\oplus \mathrm{n}=\mathrm{k}$$
$$\text{对于S}\left[\mathrm{i}\right]\text{则有S}\left[\mathrm{j}\sim \mathrm{i}\right]=\mathrm{S}\left[\mathrm{i}\right]\oplus \mathrm{S}\left[\mathrm{j}-1\right]$$
相当于S[i]可以把S[j-1]的部分剔除,则可以使用前缀和.
前4n-1个数异或和为0,具体有 3 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 …,原理是每个数加到4,末位会出现00,01,10,11,对应位上两个1异或为0

解法1 暴力 $O(n^2)$

我们可以枚举i,j作为起点和终点,预处理前缀和后每次计算m长度内的最大异或值,存max输出.

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10, M = 31 * N;
int a[N];
int s[N];

int get(int l, int r) {
    //由于n^a^a等价于n自身,故前缀和计算时可以通过异或l-1部分来把r中l-1的部分去掉
    return s[r] ^ s[l - 1];
}
int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    int x, maxn = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%d", &a[i]);
        s[i] = s[i - 1] ^ a[i];//前缀异或和
    }

    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = i; j <= n && j < i + m; ++j) {
            res = max(res, get(i, j));//
        }
    }
    cout << res << endl;

    return 0;
}

这样可以过80%数据

解法2 Tire树+滑动窗口 $O(nlogn)$

与最大异或对类似,可以构建数字trie树,trie树存的是当前所有异或对.通过query查询最大值
由于本题目限制子数组长度m,故能够比较的字串限制在m以内

详细代码

注意看推的样例!

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010 * 31, M = 100010;

int n, m;
int s[M];
int son[N][2], cnt[N], idx;

void insert(int x, int v) {//插入/删除x 取决于v是1还是-1
    int p = 0;
    for (int i = 30; i >= 0; i--) {
        int u = x >> i & 1;
        if (!son[p][u]) son[p][u] = ++idx;
        p = son[p][u];
        cnt[p] += v;
    }
}

int query(int x) {//查询最大值
    int res = 0, p = 0;
    for (int i = 30; i >= 0; i--) {
        int u = x >> i & 1;
        if (cnt[son[p][!u]])
            p = son[p][!u], res = res * 2 + 1;
        else
            p = son[p][u], res = res * 2;
    }
    return res;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        s[i] = s[i - 1] ^ x;
    }

    int res = 0;
    insert(s[0], 1);//至少要插入0,与0异或是自己

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (i > m) insert(s[i - m - 1], -1);//剔除前面的
        res = max(res, query(s[i]));//意会一下
//要求的是长度<=m的最大异或值,,每次i更新,都相当于走到当前m区间的最后一个数字,前面的数字都已经插入trie集合,
//且前面的最大值已经更新,然后当前的数字只需要进入trie集合找最大值即可 这个是从1开始递推的 比如m=3
//i为1 trie集合只有0,最大就是1处的值 0101
//i为2 trie集合0101,当前1000,异或得1100,1100为最大值,同时1000存入trie
//i为3 trie 0101,1000 ,当前1110,按照trie树走第一位取0,故按照0101异或,得1011 最大值不更新
//i为4 trie 1000,1110(0101已经被删除),当前0001,按照trie树走1110,得1111,更新为最大值
/*
上述例子输入测试
4 3
5   
8
14
1
 结果为15 也就是1111
*/
        insert(s[i], 1);//插入当前序列
    }

    printf("%d\n", res);
    return 0;
}