二分法

参照二分查找。

递归

递归通俗来讲就是不断调用自身。

递归只是让解决方案更加清晰，并没有性能上的优势。

如果使用循环，程序的性能可能更高；如果使用递归，程序可能更容易理解。

递归有三个基本组成部分，分别是执行的内容（可省略）、基线条件（函数不再调用自己）以及递归条件（函数调用自己）。

int factorial(int x){
	// 基线条件
	if (x == 1)
		return x;
	// 递归条件
	else
		return x * fab(x);
}

递归在使用过程中可能占用大量的内存（调用栈），此时有两种解决方案：

重新编写代码，转而使用循环；
使用尾递归。

分而治之（D&C，divide and conquer）

分而治之策略是递归的，包括了两个过程：

找到基线条件，这种条件必须尽可能简单；
不断将问题分解（或者说缩小规模），直到符合基线条件。

分而治之是基于递归的，更是一种解决问题的思想，递归偏于解决问题的策略/手段。

以对数组中的数求和为例：

首先，我们需要找到基线条件：数组为空时返回0或者数组只有一个元素时返回该元素；

接着，我们需要对问题进行分解，即每一次递归都将数组的最后一个元素+sum（剩下的元素构成的数组）。因为，传递给sum的数组变得简单了，这也是一种问题规模的缩减。

int sum(vector<int> seq){
	if seq.empty()
		return 0;
	else if (seq.size == 1)
		element = seq.back();
		seq.push_back();
		return element + sum(seq);
}

贪婪算法

贪婪算法的本质：每步都选择局部最优解，最终得到的就是全局最优解。

并非在任何情况下都行之有效。

背包问题

有一个小偷，只偷最贵的东西，但是他的包只能装下35磅的物品。

此时，在他眼里，有三样物品：

物品	重量/kg	价格/￥
音响	30	3000
笔记本电脑	20	2000
吉他	15	1500

显而易见，按照贪婪算法的要求，小偷无法使自己的利益最大化，即得不到最优解。

集合覆盖问题

问题是：一共有八个州，四个电台，希望能选择尽可能少的电台将这八个周覆盖了。

4个电台就有 $2^4$ 个集合需要考虑，那么枚举的话，时间为 $O(2^n)$ 。

为了加快解题速度，解题思路是：每次都选择覆盖多的。

这是一种近似算法，得到近似解。

#include <iostream>
#include <map>
#include <string>
#include <set>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
	// 电台信息
	map<string,vector<string> > stations;
	stations["kone"] = { "id", "nv", "ut" };
	stations["ktwo"] = { "wa", "id", "mt" };
	stations["kthree"] = { "or", "nv", "ca" };
	stations["kfour"] = { "nv", "ut" };
	stations["kfive"] = { "ca", "az" };
	// 初始化
		// 当前未覆盖的州
	vector<string> states_needed = { "mt", "wa", "or", "id", "nv", "ut", "ca", "az"};
		// 候选电台列表
	vector<string> final_stations;
		// 选中电台
	string best_station;
		// 选中电台所覆盖的州
	vector<string> states_covered;
	// 贪心算法
	while (!states_needed.empty()) {
		// 遍历电台，找最优
		for (auto& s : stations) {
			// 候选电台与未覆盖州的交集
			vector<string> covered;
			sort(states_needed.begin(), states_needed.end());
			sort(s.second.begin(), s.second.end());
			set_intersection(states_needed.begin(), states_needed.end(), s.second.begin(), s.second.end(), back_inserter(covered));
			if (covered.size() > states_covered.size()) {
				best_station = s.first;
				states_covered = covered;
			}
		}
		// 记录选中电台
		final_stations.push_back(best_station);
		// 删除选中电台
		stations.erase(best_station);
		// 删除已经覆盖的州
		set<string> states_needed_set(states_needed.begin(), states_needed.end());
		for (auto& s : states_covered)
			states_needed_set.erase(s);
		states_needed.assign(states_needed_set.begin(), states_needed_set.end());
		// 重置
		best_station = {};
		states_covered = {};
	}
	for (auto& s : final_stations)
		cout << s << endl;
	return 0;
}