球杆系统如下图所示，黄色圆盘转动过程中驱动绿杆抬升或者降落蓝色摆杆，使得小球在蓝色摆杆上移动，最终控制小球稳定在指定位置，这时蓝色摆杆刚好水平。
系统输入为黄色圆盘转角
，输出为小球与蓝色摆杆所在铰链距离
首先，我们看已知量。
：下面黄色圆盘半径。
：下面黄色圆盘转角（相对于水平线而言）。
：蓝色连杆的转角（相对于水平线而言）。
：蓝色连杆上面两个铰链之间的距离。
：小球距离蓝色连杆地面端的距离。
:蓝色连杆总长度。
:小球半径。
：小球质量。
：蓝色连杆质量。
：蓝色连杆旋转角速度。
：小球滚动时自转角速度。
:小球绕自身球心转动惯量（不妨叫自转惯量）。
：小球绕着蓝色连杆铰链端转动的转动惯量（不妨叫公转惯量）。
:蓝色连杆转动惯量。
:小球移动动能（在蓝色连杆上移动）。
：小球自转动能。
：小球公转动能。
：小球势能（只有重力势能，我们把蓝色连杆地面端作为零势能点）。
：蓝色连杆动能（只有转动动能）。
：蓝色连杆势能（重力势能）。
我们把黄色圆盘和绿色连杆当作轻质构件，将其动能和势能忽略简化计算。
首先，找到系统广义坐标
。广义坐标是针对系统输出来说的。一个系统有几个自由度，就有几个输出，就需要定义几个独立的广义坐标来完全表示。一个自由度用一个独立广义坐标就能表示。而本系统只有一个自由度，就是小球的水平位置，所以我们取这个广义坐标。当
较小时，我们可以有这样一个近似关系：
，所以
接下来，我们先把上面容易计算的量给计算出来。
可以参考球体绕球心转动惯量公式。
可以参考质点绕一点转动惯量公式
可以参考匀质杆绕一端点的转动惯量公式。
：小球移动动能
然后直接列拉格朗日方程：
然后将上面这两个式子带入拉格朗日方程，由于输入为0，所以拉格朗日右边是0.
由于
是个极小量，而
就更小了，可以忽略。
然后可得：
由于我们实际球杆系统的长度刻度是从蓝色杆的右边计算起来的，也就是实际输出的距离是图中的
，因此我们还需要做一下变换。
因此我们的微分方程就变成了下式：
对该式进行拉普拉斯变换：
就求出来了传递函数。
