在事物的发展过程中，常表现出复杂的波动情况，即时而波动的幅度较缓，而又时常出现波动集聚性(VolatilitY clustering),在风险研究中经常遇到这种情况。恩格尔(Engle)在1982年提出了用来描述方差波动的自回归条件异方差模型ARCH (Autoregressive conditional heteroskedasticity model )。并由博勒斯莱 文(Bollerslev, T., 1986)发展成为广义自回归条件异方 差GARCH (Generalized ARCH),后来又发展成为很多的特殊形式。
在AR(1)过程的背景下，我们花了一些时间来解释当
接近于1时会发生什么。
- 如果 过程是平稳的，
- 如果 该过程是随机游走
- 如果 这个过程会大幅波动
同样，随机游走是非常有趣的过程，具有令人费解的特性。例如，
作为
，并且该过程将无限次穿过 x轴…… 我们仔细研究了 ARCH(1) 过程的性质，尤其是当
，我们得到的结果可能令人费解。考虑一些 ARCH(1) 过程
，具有高斯噪声，即
其中
是一个 iid 序列
变量。这里 
和 
必须是正的。回顾 由于
. 因此
，所以方差存在，并且只有当
, 在这种情况下
此外，如果
，则可以得到第四矩，
. 现在，如果我们回到研究方差时获得的属性，如果
， 或者
?如果我们查看模拟，我们可以生成一个 ARCH(1) 过程 ， 例如
。
- > ea=rnorm
- > eson=rnorm
- > sga2=rep
- > for(t in 2:n){
- > plot
为了理解发生了什么，我们应该记住，我们好的是，
必须在
之间能够计算出
的第二时刻。 但是，有可能有一个具有无限变异的平稳过程。
迭代
一次又一次地迭代……
其中
在这里，我们有一个正项的总和，我们可以使用所谓的 Cauchy rule： 定义
那么，如果
，
收敛。这里，
也可以写成
并且根据大数定律，因为我们这里有一个独立同分布项的总和，
因此，如果
， 然后
会有限制，当
取无穷大。
上面的条件可以写成
这就是所谓的 Lyapunov 系数。
方程
是
一个条件 .
在这种情况下
，这个上界的数值是3.56。
> 1/exp(mean(log(rnorm(1e7)^2)))
在这种情况下 （
)，方差可能是无限的，但序列是平稳的。另一方面，如果
， 然后
几乎肯定会走向无穷大，因为 
走向无穷大。但是为了观察这种差异，我们需要大量的观察。例如，
和
,
我们很容易看出区别。我并不是说很容易看出上面的分布具有无限的方差，但仍然如此。
如果我们考虑对上述序列绘制希尔图，在正
的尾部
> hil
或负
的尾部
-epsilon
我们可以看到，尾部指数（严格来说）小于2（意味着2阶的时刻不存在）。
为什么它令人费解？也许是因为这里
不是弱平稳（在
意义上），而是强平稳。这不是通常的弱和强的关系方式。这可能就是为什么我们不称其为强平稳性，而称其为严格平稳性。
