2.1概率密度函数
2.1.1定义
设p(x)为随机变量x在区间[a,b]的概率密度函数，p(x)是一个非负函数，且满足
注意概率与概率密度函数的区别。
概率是在概率密度函数下对应区域的面积，如上图右所示，其公式如下
我们用概率密度函数来表示在区间[a,b]中所有可能的状态x的可能性。
条件概率密度函数，设p(x|y)是在条件y属于[r,s]下x（x属于[a,b]）的概率密度函数，有
N维连续随机变量的联合概率密度函数记为p(X),其中X=(x1,...,xn),xi属于[ai,bi],有时我们也用符号
来替代p(X).有时，甚至会混合搭配
作为X和Y的联合概率密度函数。在N维例子中，有
2.1.2贝叶斯规则和推导
首先，把一个联合概率密度函数进行因式分解，有
重新整理后得到贝叶斯原理：
我们可以通过这个公式来推导在给定测量条件下状态的后验概率-p(x|y)。如果我们有一个对状态的先验概率密度函数p(x)，以及对传感器模型的先验概率密度函数p(y|x)。通过扩大分母，有如下，
分母的由来通过边缘化，如下
，这在一般的非线性情况下去这么解释非常耗时的。
注意，在贝叶斯推论中，p(x)称为先验概率密度函数，而p(x|y)称为后验概率密度函数。这样，所有的先验信息都集中于p(x)而所有的后验信息都集中于p(x|y)。
2.1.3概率密度函数的矩
第0阶概率矩总是为1，第一阶概率矩称为均值μ，有如下
对于一般的矩阵函数F(X),其期望写成
但是我们把上面写成
第二阶概率矩称为协方差矩阵Σ：
那么下两个矩称为skewness and kurtosis（偏态和峰态）。
！！！！！！！！！向量的概率相关信息以及随机变量的概率相关信息的区别
2.14 样本均值和协方差
假设我们有随机变量x，以及它的概率密度函数p(x)，我们可以从这个概率密度函数中得到样本，可以表示为
一个样本有时也称为随机变量的一个实现，我们直观地把它想成一次测量。
如果我们想要得到N个那样的样本，且想要估计随机变量x的均值和协方差，我们可以运用样本均值和样本协方差来这么做：
很明显，在样本协方差中的分母运用N-1而非N来作为归一化，这称为贝塞尔的校正。
2.1.5统计独立,以及不相关
两个随机变量x和y，我们说他们统计独立的话，则他们的联合概率密度因式分解为如下：
如果有以下等式成立
，则称变量不相关。
独立一定不相关，反之，则不然。我们将通常假设变量是统计独立的来简化计算。
2.1.6香农和互信息
通常我们对一些随机变量估计其概率密度函数，然后想要去量化我们是有多么的确定，例如，概率密度函数的均值。
一种方法就是查看负熵或者香农信息，H，它由如下给出
我们将在下面用高斯概率密度函数具体来表达。
另一个有用的量是互信息，I(X,Y),它在随机变量x和y之间，形式给出如下
互信息(Mutual Information)是信息论里一种有用的信息度量，它可以看成是一个随机变量中包含的关于另一个随机变量的信息量，或者说是一个随机变量由于已知另一个随机变量而减少的不肯定性。
当x和y都统计独立，则有
当x和y是依赖的，我们有
我们还有有用的关系，如下
2.17Cramer-Rao下界和费舍尔信息
假设有一个确定性的参数 θ，它影响随机变量x的结果。这可以通过把x的概率密度函数写成依赖于 θ来获得，如下
进一步假设我们得到一个从p(x| θ)的样本
，
那么， the Cramér-Rao lower bound (CRLB)说的是确定性参数θ的然和无偏估计
的协方差由费舍尔信息矩阵定下界，
无偏估计意味着
，下界意味着
因此CRLB就设置了一个基本的下限在给出我们测量之后，对一个参数的估计有多确定。
2.2高斯概率密度函数
一维高斯概率密度函数，由如下形式给出
μ是均值，
是协方差，σ表示标准差，下图表示了一维高斯密度函数，
多维高斯密度函数，
，其中随机变量x是n维的，
表达如下，
是一个对称正定的协方差矩阵
2.2.2 Isserlis定理
多维高斯密度函数的矩去计算均值以及协方差以外的量会比较麻烦，但是有一些具体的例子稍后我们会利用，这值得讨论。我们可以运用Isserlis定理来计算更高阶的高斯随机变量
定理如下
设有四个变量，表示如下
我们可以把这个理论应用到计算矩阵表示的有用结果。
假设有，
，要去计算表达式
p为非负整数，当p=0时，有
，当p=1时，有
在标量中，
，因此由上面得出，
，对于p大于1，也用同样的方法。
我们也考虑如下例子，
x1的维数为N1，x2的维数为N2，计算如下表达式
同理，p是非负整数，当p=0时，有
，当p=1时，有
类似的，有
最后来核查一下，有
进一步，我们有
A是一个与上面兼容的方阵。
2.2.3联合高斯概率密度函数，他们的因式分解，以及推断
对一对变量（x，y）的联合高斯，可写为
它也有同样的概率表示形式，这里的
我们可以用舒尔补码来求解联合高斯
很重要的是p(x|y)和p(y)是高斯密度函数，如果正好我们知道y的值（比如经过测量得到的），我们就可以计算出x在y条件下的可能性通过p(x|y)来计算。
这是高斯推断的一个基础：我们以关于我们的先验状态
开始，然后通过一些测量
来缩小先验状态x的范围，在 (2.46b)中,我们看到了对均值
和协方差
的一个调整，使之变得更小了。
