[动态规划]DP19 最长公共子序列(一)-中等

​​DP19 最长公共子序列(一)​​

描述

给定两个字符串 s1 和 s2，长度为 n 和 m  。求两个字符串最长公共子序列的长度。

所谓子序列，指一个字符串删掉部分字符（也可以不删）形成的字符串。例如：字符串 "arcaea" 的子序列有 "ara" 、 "rcaa" 等。但 "car" 、 "aaae" 则不是它的子序列。

所谓 s1 和 s2 的最长公共子序列，即一个最长的字符串，它既是 s1 的子序列，也是 s2 的子序列。

数据范围 :  。保证字符串中的字符只有小写字母。

要求：空间复杂度 ，时间复杂度 

进阶：空间复杂度 ，时间复杂度 

输入描述：

第一行输入一个整数 n 和 m ，表示字符串 s1 和 s2 的长度。

接下来第二行和第三行分别输入一个字符串 s1 和 s2。

输出描述：

输出两个字符串的最长公共子序列的长度

示例1

输入：

5 6
abcde
bdcaaa

复制

输出：

2

复制

说明：

最长公共子序列为 "bc" 或 "bd" ，长度为2

示例2

输入：

3 3
abc
xyz

复制

输出：

0

题解

动态规划解法

步骤：

1. 定义dp[i][k]表示字符串a和字符串b长度分别为i和k的时候，最长的子串长度
2. 初始化:dp[0][k] = 0,dp[i][0] = 0，表示某一个字符串为0的时候，和另外一个字符串的最长匹配子串长度为0
3. 递推公式：

1. 如果a[i-1]等于b[k-1]，则表示当前字符匹配，dp[i][k] = dp[i-1][k-1]+1
2. 否则，dp[i][k]等于max(dp[i][k-1],dp[i-1][k])

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>

int solve(const std::string &a, const std::string &b)
{
  if (a.size() == 0 || b.size() == 0)
  {
    return 0;
  }

  // dp[i][k]表示在长度为i的a中，和长度为k的b中，可以匹配的最长个数
  std::vector<std::vector<int>> dp(a.size() + 1, std::vector<int>(b.size() + 1, 0));
  int len = 0;
  for (int i = 1; i <= a.size(); ++i)
  {
    for (int k = 1; k <= b.size(); ++k)
    {
      if (a[i - 1] == b[k - 1])
      {
        dp[i][k] = dp[i - 1][k - 1] + 1;
      }
      else
      {
        dp[i][k] = std::max(dp[i - 1][k], dp[i][k - 1]);
      }
    }
  }
  return dp[a.size()][b.size()];
}

int main()
{
  int m, n;
  std::cin >> m >> n;
  std::string a;
  std::string b;
  std::cin >> a >> b;
  std::cout << solve(a, b) << std::endl;
  return 0;
}