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《算法分析与设计》练习9
- 一、问题 A: 最大子段和
- 二、问题 B: 最大子段和升级版
- 三、 问题 C: 斜线最大最小值
- 四、问题 D: 矩阵连乘问题-备忘录法求最优值
- 五、问题 E: 矩阵连乘问题-动态规划求最优值
- 六、问题 F: 矩阵连乘问题-构造最优解
- 七、问题 G: 石子合并问题
- 八、问题 H: XP的矩阵
- 总结
一、问题 A: 最大子段和
题目描述
给定n个整数（可能是负数）组成的序列a[1], a[2], a[3], …, a[n]，求该序列的子段和如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的最大值。
输入
每组输入包括两行，第一行为序列长度n，第二行为序列。
输出
输出字段和的最大值。
样例输入 Copy
5
-1 0 1 2 3
样例输出 Copy
6
代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
while (sc.hasNext()) {
int n = sc.nextInt();
int[] a = new int[n];
int []b=new int[n];
int sum=0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
a[i] = sc.nextInt();
b[0]=a[0];
for (int j=1;j<n;j++){
if(b[j-1]>0){
b[j]=b[j-1]+a[j];
}
else
b[j]=a[j];
if(b[j]>sum){
sum=b[j];
}
}
}
System.out.println(sum);
}
}
}
二、问题 B: 最大子段和升级版
题目描述
使用动态规划算法求整数数组（可能包含负整数）的最大子段和，以及和最大子段的起始位置和结束位置：
例如：输入数组(6,-1,5,4,-7)，输出14, 1, 4，其中14表示最大子段和，1表示和最大的子段从第1个数字开始，4表示和最大的子段到第4个数字结束，即(6, -1 , 5, 4)。
输入
每组输入两行，第1行为数组中包含的整数个数n，第2行为n个整数（可能包含负整数），两两之间用空格隔开。
输出
输出最大子段和，以及和最大子段的起始位置和结束位置，两两之间用空格隔开。
样例输入 Copy
5
6 -1 5 4 -7
样例输出 Copy
14 1 4
代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
while (sc.hasNext()) {
int n = sc.nextInt();
int[] a = new int[n];
int[] b = new int[n];
int o = 0,p=0;int sum=a[0];
int sum2=0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
a[i] = sc.nextInt();
sum = a[0];
b[0] = a[0];
for (int j = 1; j < n; j++) {
if(b[j-1]>0){
b[j] = b[j - 1] + a[j];
} else {
b[j] = a[j];
}
if (b[j] > sum) {
sum = b[j];
p=j;
}
}sum2=sum;
for (int k=p;k>=0;k--){
sum2-=a[k];
if(sum2==0)
o=k;
}
}
System.out.println(sum+" "+(o+1)+" "+(p+1));
}
}
}
三、 问题 C: 斜线最大最小值
题目描述
求如图所示一个上三角矩阵中每一条斜线中的最大元素(L)和最小元素(S)。
输入
每组输入包括两部分，一部分为数字n，表示三角矩阵的行数。
第二部分即为三角矩阵。
输出
每一个对角线输出一行，每行包括Lx=Max, Sx=Min，其中x为斜线序号（序号从1开始），Max为该斜线上的最大值，Min为该斜线上的最小值。
样例输入 Copy
6
1 3 5 7 11 20
0 6 8 2 3 13
0 0 7 4 8 9
0 0 0 18 3 10
0 0 0 0 12 6
0 0 0 0 0 15
样例输出 Copy
L1=18, S1=1
L2=8, S2=3
L3=10, S3=2
L4=9, S4=3
L5=13, S5=11
L6=20, S6=20
代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
while (sc.hasNext()){
int Max=0;int Min=0;
int n=sc.nextInt();
int [][]a=new int[n][n];
for (int i=0;i<n;i++){
for (int j=0;j<n;j++){
a[i][j]=sc.nextInt();
}
}
for (int r=1;r<=n;r++){
Max=a[0][r-1];
Min=a[0][r-1];
for (int i=1;i<n-r+1;i++){
int j=i+r-1;
if (a[i][j]<Min){
Min=a[i][j];
}
if (a[i][j]>Max){
Max=a[i][j];
}
}
System.out.print("L"+r+"="+Max+", S"+r+"="+Min);
System.out.println();
}
}
}
}
四、问题 D: 矩阵连乘问题-备忘录法求最优值
题目描述
使用备忘录法求解矩阵连乘问题，输出最少乘法次数。
输入
每组数据包括两行，第一行为数组长度n，第二行为存储矩阵维数的一维数组。
输出
矩阵连乘最优计算次数。
样例输入 Copy
7
30 35 15 5 10 20 25
样例输出 Copy
15125
代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int []p=new int[100];
public static int s[][] = new int[200][200];
static int m[][]=new int[100][100];static int n;
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
while (sc.hasNext()) {
n = sc.nextInt();
for (int i = 0; i < n; i++) {
p[i] = sc.nextInt();
}
int sum=lookupChain(1,n-1);
System.out.println(sum);
}
}
public static int lookupChain ( int i, int j){
for(int k=0;k<n;k++)
for(int t=0;t<n;t++)
m[k][t] = 0;
if (m[i][j] > 0) return m[i][j];
if (i == j) return 0;
int u = lookupChain(i + 1, j) + p[i - 1] * p[i] * p[j];
s[i][j] = i;
for (int k = i + 1; k < j; k++) {
int t = lookupChain(i, k) + lookupChain(k + 1, j) + p[i - 1] * p[k] * p[j];
if (t < u) {
u = t;s[i][j] = k;
}
}
m[i][j] = u;
return u;
}
}
五、问题 E: 矩阵连乘问题-动态规划求最优值
题目描述
使用动态规划算法求解矩阵连乘问题，输出最少乘法次数。
输入
每组数据包括两行，第一行为数组长度n，第二行为存储矩阵维数的一维数组。
输出
矩阵连乘最优计算次数。
样例输入 Copy
7
30 35 15 5 10 20 25
样例输出 Copy
15125
代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int []p=new int[100];
public static int s[][] = new int[200][200];
static int m[][]=new int[100][100];
public static int n;
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
while (sc.hasNext()){
int n=sc.nextInt();
for (int i=0;i<n;i++){
p[i]=sc.nextInt();
}
matrixChain(p,m,s);
System.out.println(m[1][n-1]);
}
}
public static void matrixChain(int []p,int [][]m,int [][]s){
int n=p.length-1;
for (int i=1;i<=n;i++)m[i][i]=0;
for (int r=2;r<=n;r++){
for (int i=1;i<=n-r+1;i++){
int j=i+r-1;
m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
s[i][j]=i;
for (int k=i+1;k<j;k++){
int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
if(t<m[i][j]){
m[i][j]=t;
s[i][j]=k;
}
}
}
}
}
}
六、问题 F: 矩阵连乘问题-构造最优解
题目描述
使用动态规划算法求解矩阵连乘问题。
输入
每组数据包括两行，第一行为数组长度n，第二行为存储矩阵维数的一维数组。
输出
矩阵连乘最优计算次序。
样例输入 Copy
7
30 35 15 5 10 20 25
样例输出 Copy
A[2:2] * A[3:3]
A[1:1] * A[2:3]
A[4:4] * A[5:5]
A[4:5] * A[6:6]
A[1:3] * A[4:6]
代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int []p=new int[100];
public static int s[][] = new int[200][200];
static int m[][]=new int[100][100];
public static int n;
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
while (sc.hasNext()){
n=sc.nextInt();
for(int i=0;i<n;i++)
p[i] = sc.nextInt();
matrixChain(p,m,s);
traceback(s,1,n-1);
}
}
public static void matrixChain(int []p,int [][]m,int [][]s){
int n=p.length-1;
for (int i=1;i<=n;i++)m[i][i]=0;
for (int r=2;r<=n;r++){
for (int i=1;i<=n-r+1;i++){
int j=i+r-1;
m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
s[i][j]=i;
for (int k=i+1;k<j;k++){
int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
if(t<m[i][j]){
m[i][j]=t;
s[i][j]=k;
}
}
}
}
}
public static void traceback(int [][]s,int i,int j){
if(i==j)return;
traceback(s,i,s[i][j]);
traceback(s,s[i][j]+1,j);
System.out.println("A["+i+":"+s[i][j]+"]"+ " * " +"A["+(s[i][j]+1)+":"+j+"]");
}
}
七、问题 G: 石子合并问题
题目描述
在一条直线上有n堆石子，每堆有一定的数量，每次可以将两堆相邻的石子合并，合并后放在两堆的中间位置，合并的费用为两堆石子的总数。求把所有石子合并成一堆的最小花费。例如：输入{1，2，3，4，5}，输出33。【3+6+9+15=33】
输入
本题应该处理到文件尾，每组输入包括两行，第一行为石子堆的个数n，第二行则为每堆石子的个数。
输出
输出最小花费。
样例输入 Copy
5
1 2 3 4 5
样例输出 Copy
33
代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static int m[][] = new int[200][200];
public static int s[][] = new int[200][200];
public static int p[] = new int[106];
public static int n;
public static void matrixChain(int []p,int [][]m,int [][]s){
for(int i=1;i<=n;i++)
m[i][i] = 0;
for(int r=2;r<=n;r++)
for(int i=1;i<=n-r+1;i++){
int j = i+r-1;
m[i][j] = m[i+1][j]+s[i][j];
for(int k = i+1;k<j;k++){
int t = m[i][k]+m[k+1][j]+s[i][j];
if(t<m[i][j]){
m[i][j] = t;
}
}
}
}
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner sc = new Scanner(System.in);
while(sc.hasNext()){
n = sc.nextInt();
for(int i=1;i<=n;i++)
p[i] = sc.nextInt();
for(int i=1;i<=n;i++)
s[i][i] = p[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=i+1;j<=n;j++)
s[i][j] = s[i][j-1]+p[j];
matrixChain(p,m,s);
System.out.println(m[1][n]);
}
}
}
八、问题 H: XP的矩阵
题目描述
XP学长觉得矩阵很美，虽然他也不知道美在哪里，因此，他决定挖掘一下矩阵的美。现在给定一个m行n列的矩阵，从左上角开始每次只能向右或者向下移动，最后到达右下角的位置，将路径上的所有数字累加起来作为这条路径的路径和。XP学长决定编写一个程序来求所有路径和中的最小路径和。例如，下面矩阵中的路径1-3-1-0-6-1-0是所有路径中路径和最小的，返回结果是12。
1 3 5 9
8 1 3 4
5 0 6 1
8 8 4 0
输入
输入包含多组测试用例，第一行输入一个T表示测试数据组数，(1<=T<=15)
接下来有T组数据，每组先输入两个整数M,N接下来输入M*N的矩阵(1<=N,M<=1000)，且最终结果在int范围内。
输出
输出路径和的最小值。
样例输入 Copy
1
4 4
1 3 5 9
8 1 3 4
5 0 6 1
8 8 4 0
样例输出 Copy
12
代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int t=sc.nextInt();
while (sc.hasNext()){
int num=0;
int m=sc.nextInt();
int n=sc.nextInt();
int a[][]=new int[m][n];
for (int i=0;i<m;i++){
for (int j=0;j<n;j++){
a[i][j]=sc.nextInt();
}
}
int sum=minPathSum(a);
System.out.println(sum);
num++;
if(t==num)break;
}
}
public static int minPathSum (int[][] matrix) {
int rows = matrix.length;
int cols = matrix[0].length;
int [][] res = new int [rows][cols];
res[0][0] = matrix[0][0];
for (int i = 1; i < rows; i++) {
res[i][0] = res[i - 1][0] + matrix[i][0];
}
for (int j = 1; j < cols; j++) {
res[0][j] = res[0][j - 1] + matrix[0][j];
}
for (int i = 1; i < rows; i++) {
for (int j = 1; j < cols; j++) {
if (res[i][j - 1] > res[i - 1][j]) {
res[i][j] = res[i - 1][j] + matrix[i][j];
}
else {
res[i][j] = res[i][j - 1] + matrix[i][j];
}
}
}
return res[rows - 1][cols - 1];
}
}
总结
好了，那么今天的学习就到这里了。友友们觉得不错的可以给个关注，点赞或者收藏哦！感谢各位友友们的支持。以下的代码希望各位大佬们自行检验哦，毕竟亲手操作让记忆更加深刻。
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