P3312 [SDOI2014] 数表-CFANZ编程社区

P3312 [SDOI2014] 数表

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先来一波常规操作

$ans = \sum _{i=1}^n\sum _{i=1}^mF[gcd(i,j)] =\sum _{k=1}^nF[k]\sum _{i=1}^n\sum _{i=1}^m[gcd[i,j]=1] =\sum _{k=1}^nF[k]\sum _{k|d}\mu(d/k)[m/d][n/d]$

然后再来一波经常使用的"换一个枚举"

$=\sum _{d=1}^n[n/d][m/d]\sum _{k|d}F[k]*\mu[d/k]$

令

$g[d] = \sum _{k|d}F[k]*\mu[d/k]$

发现我们需要处理 g[d] 的前缀和, 又要保证当前的F[k]<=a

所以我们将询问按a排序, 然后动态将F[k]<=a 的插入树状数组

考虑一个F[x]对哪些有贡献

F[x] 对 g[x] 有 F[x] * mu[1]的贡献

F[x] 对 g[x*2] 有 F[x] * mu[2] 的贡献

然后暴力枚举倍数插入树状数组

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100050
using namespace std;
int mu[N],prim[N],isp[N],tot,F[N];
int T; unsigned int ans[N];
struct Quary{
  int n,m,val,id;
} q[N];
bool cmp(Quary a,Quary b){return a.val<b.val;}
struct Node{
  int val,id;
} A[N];
bool cmp1(Node a,Node b){return a.val<b.val;}
int c[N];
void add(int x,int val){for(;x<=N-50;x+=x&-x) c[x] += val;}
int sum(int x){int ans=0; for(;x;x-=x&-x) ans += c[x]; return ans;}
unsigned int Quary(int n,int m){
  if(n>m) swap(n,m);
  unsigned int ans = 0;
  for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
    int v1 = n/l, v2 = m/l;
    r = min(n/v1, m/v2);
    ans += v1 * v2 * (sum(r) - sum(l-1));
  } return ans;
}
int main(){
  mu[1] = 1;
  for(int i=2;i<=N-50;i++){
    if(!isp[i]) prim[++tot] = i, mu[i] = -1;
    for(int j=1;j<=tot;j++){
      if(i * prim[j] > N - 50) break;
      isp[i * prim[j]] = 1;
      if(i % prim[j] == 0) break;
      mu[i * prim[j]] = -mu[i];
    }
  }
  for(int i=1;i<=N-50;i++)
    for(int j=i;j<=N-50;j+=i) F[j] += i;
  scanf("%d",&T);
  for(int i=1;i<=T;i++) scanf("%d%d%d",&q[i].n, &q[i].m, &q[i].val), q[i].id = i;
  for(int i=1;i<=N-50;i++) A[i].id = i, A[i].val = F[i];
  sort(q+1, q+T+1, cmp); 
  sort(A+1, A+N-50+1, cmp1);
  int pos = 0;
  for(int i=1;i<=T;i++){
    while(pos < N-50 && A[pos+1].val <= q[i].val){
      ++pos;
      for(int j=1; j * A[pos].id <= N - 50; j++)
        add(j * A[pos].id, mu[j] * A[pos].val);
    } ans[q[i].id] = Quary(q[i].n, q[i].m);
  } 
  for(int i=1;i<=T;i++) printf("%d\n",ans[i] & 2147483647);
  return 0;
}

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