收集整理高考备考中的开放性试题，以拓展思维。
前言
典例剖析
【2021 全国高三二模】已知数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) 是等差数列, 其前 \(n\) 项和为 \(S_{n}\), 有下列四个命题:
甲: \(a_{18}=0\)； 乙: \(S_{35}=0\)； 丙: \(a_{17}-a_{19}=0\)； 丁: \(S_{19}-S_{16}=0\) .
如果只有一个是假命题, 则该命题是 \(【\quad】\)
$A.甲$ $B.乙$ $C.丙$ $D.丁$
解析：若 \(S_{35}=0\) ，则 \(S_{35}=\cfrac{35\left(a_{1}+a_{35}\right)}{2}=0\) ，即 \(a_{18}=0\) ；
若 \(a_{17}-a_{19}=0\) ，所以 - \(2 d\) \(=0\) ，即 \(d=0\) ，
若 \(S_{19}-S_{16}=a_{17}+a_{18}+a_{19}=0\) ，所以 \(a_{18}=0\).
这样命题 甲、乙、丁 为三个等价命题，又因为只有一个是假命题， 所以丙是假命题.
【2021. 江苏镇江模拟】各项均为正数的等比数列 \(\{a_{n}\}\), 其公比 \(q \neq 1\), 且 \(a_{3} a_{7}=4\), 请写出一个符合条件的通项公式 \(a_{n}\)=_____________.
解析: 因为 \(\{a_{n}\}\) 为正项等比数列，所以 \(a_{3}a_{7}=a_{5}^{2}=4\) ，所以 \(a_{5}=2\) ，
又 \(q \neq 1\) ， 不妨令 \(q=2\) ，所以 \(a_{n}=a_{1} q^{n-1}=a_{5} q^{n-5}=2 \times 2^{n-5}=2^{n-4}\).
故填写 \(a_n=2^{n-4}\) .
思维引申：若令 \(q=3\) ，所以 \(a_{n}=a_{1} q^{n-1}=a_{5} q^{n-5}=2 \times 3^{n-5}\).
【2021\(\cdot\)湖南株洲一模】已知数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) 为等比数列， 若数列 \(\left\{10^{n}-a_{n}\right\}\) 也是等比数列，则数列 \(\{a_{n}\}\) 的通项公式可以为____________. (填一个即可)
解析: 取 \(a_{n}=-10^{n}\) ，则 \(\cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\cfrac{-10^{n+1}}{-10^{n}}=10\) ，
\(\cfrac{10^{n+1}-a_{n+1}}{10^{n}-a_{n}}=\cfrac{2 \times 10^{n+1}}{2 \times 10^{n}}=10\) ，
所以数列 \(\{10^{n}-a_{n}\}\) 和 \(\{a_{n}\}\) 都是等比数列.
故可以填写 \(a_{n}=-10^{n}\) .
思维引申：也可以取 \(a_{n}=-2\times 10^{n}\) .
