有关高斯消元

高斯消元

• 一般可以在O(n^3)求解包含n个方程和n个未知数的多元线性方程组
• 有可能无解，无穷多组解，唯一解

初等行列变换

• 换行变换：交换两行（列）
• 倍法变换：将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数k
• 消法变换：把行列式的某一行（列）的所有元素乘以一个数k并加到另一行（列）的对应元素上

解的情况

• 消元之后若是完美的阶梯型形状即为
• 不完美阶梯型
  • 左边没有未知数右边系数非零–无解
  • 出现0=0的方程–无穷多组解

算法步骤

• 枚举每一列
• 找到第一列非零的数（这一列绝对值最大的一行）
  • 将该行换到最上边
  • 将该行第一个系数变成1
  • 把第一列除了第一个数全部消成0
  • 成为固定行
• 继续枚举下一列
• 找到此列可变行绝对值最大的一行
  • 将该行换到可变行最上边
  • 将该行第一个系数变成1
  • 把第一列除了第一个数全部消成0（固定行不变）
  • 成为固定行
• 全部枚举完后求解
• 若是完美的阶梯型形状
  • 把最后一行第一个数变成1
  • 依次向上消掉对应位数
  • 将系数举证换成方程形式

代码

```c++
int gauss()  
{
    int c, r;
    for (c = 0, r = 0; c < n; c ++ )
    {
        int t = r;
        for (int i = r; i < n; i ++ )  
            if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
                t = i;

        if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;

        for (int i = c; i <= n; i ++ ) swap(a[t][i], a[r][i]); 
        for (int i = n; i >= c; i -- ) a[r][i] /= a[r][c];  
        for (int i = r + 1; i < n; i ++ )  
            if (fabs(a[i][c]) > eps)
                for (int j = n; j >= c; j -- )
                    a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];

        r ++ ;
    }

    if (r < n)
    {
        for (int i = r; i < n; i ++ )
            if (fabs(a[i][n]) > eps)
                return 2; 
        return 1;
    }

    for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )
        for (int j = i + 1; j < n; j ++ )
            a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];

    return 0; 
}
```