Geogebra画了几个复平面上的变换图形，感觉特别有意思，对非线性空间的变换又有了更加几何化的理解，先来看第一个:
1.
在复平面的变换图形,下图展示的是一组平行于坐标轴的线段，经过f(z)变换后的图形，是不是很漂亮？
可以代数推导一下:
对于
所以，坐标轴x=0映射为负半轴，y=0映射为正半轴，原点仍在原点。
坐标网格分别映射为左右复平面上的弯曲抛物线，以x=a为例:
则
点
在复平面上的轨迹是:
确实是一条抛物线。
用极坐标的方式可能更容易理解：
设
则：
可以想象一下变换模变为
,幅角扩大２倍的样子．
后续会不断更新新的复平面变换图形。
２．
平行于x轴的直线虚部不变，也就是幅角不变，映射为原点开始，幅角一定的射线。
平行于y轴的直线实部不变，虚部可变，映射为以
为半径的圆周。
虚部只对旋转有贡献，实部在决定点距离原点的位置！
上面是复平面到复平面的变换，下面图示的是
的模曲面方程，和上图有同样的信息，你能看出来吗？
有意思的是，上面所说的两个变换前后，互相垂直的线再变换后仍然是互相垂直的，这种变换也叫＂保角变换＂，再复变函数里面，保角变换的特性是很强的特性，几乎等价于函数可微．
