[牛客每日一题] (前缀和+线性 DP) NC15553 数学考试

​​数学考试 (nowcoder.com)

题目描述

今天qwb要参加一个数学考试，这套试卷一共有n道题，每道题qwb能获得的分数为ai，qwb并不打算把这些题全做完，
他想选总共2k道题来做，并且期望他能获得的分数尽可能的大，他准备选2个不连续的长度为k的区间,
即[L,L+1,L+2,....,L+k-1]，[R,R+1,R+2,...,R+k-1]（R >= L+k）。

输入描述:

第一行一个整数T（T<=10）,代表有T组数据 接下来一行两个整数n,k,(2<=n<=200,000),(1<=k,2k <= n) 接下来一行n个整数a1,a2,...,an，（-100,000<=ai<=100,000）

输出描述:

输出一个整数，qwb能获得的最大分数

示例1

输入

2 6 3 1 1 1 1 1 1 8 2 -1 0 2 -1 -1 2 3 -1

输出

6 7

错解

一开始我是想将

①先利用前缀和将所有长度为k的区间按照区间和进行降序

②再从最大开始取两段不相交的区间,他们的和即为答案

可在写到②的时候发现这个思路不可, 若是从大到小出现区间和100 99 98 10...  ,假设只有100与99,98的[l, r]均相交, 最终按照上面的思路会选择100和10,最终结果为110, 但其实还有更优解,就是99和98,综上,一开始的思路是局限的

利用动态规划

换个思路想, 

设lmax[i]表示下标i及其左边所有长度为k的最大区间和，

rmax[i]表示下标i及其右边所有长度为k的最大区间和,

那么最终结果就是max{lmax[i]+rmax[i]}.

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 2e5+10;
int n, k;
LL res, a[N], lmax[N], rmax[N];

int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    
    while(t --)
    {
        cin >> n >> k;
        
        LL res = -1e18;
        memset(lmax, -0x7f, sizeof lmax);
        memset(rmax, -0x7f, sizeof rmax);
        for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%ld", &a[i]);
        for(int i = 1; i <= n; i ++) a[i] = a[i]+a[i-1];

        //以i为右边界
        for(int i = k; i <= n-k; i ++) lmax[i] = max(lmax[i-1], a[i]-a[i-k]);
        //以i为左边界
        for(int i = n-k+1; i > k; i --) rmax[i] = max(rmax[i+1], a[i+k-1]-a[i-1]);
        
        for(int i = k+1; i <= n-k+1; i ++){
            res = max(res, lmax[i-1]+rmax[i]);
        }

        cout << res << endl;
    }
}