「JSOI2018」机器人（数数）（DP）

​ 传送门​​

• 题解：神仙数数题，从性质入手
• 结论 1：一条副对角线上的方向相同，因为如果不相同的话就会有格子没有走到或是从两个方向走过来
  结论 2：第 条对角线与第 条对角线相同，证明咕
  结论 3：有了第 2 个结论，我们可以发现机器人走的路径是循环的，且循环节长度为
• 我们不妨设循环节长度为，其中向下走了 步向右走了 步，那么纵坐标回到 1 需要 个循环节，横坐标会到原点需要 个循环节，所以有等式
  
  显然成立时当且仅当
  那么当除 外的格子全部是 1 时，方案数为
  
  我们考虑 出有障碍的情况，枚举向下的步数 ，那么我们只需要对 的矩阵讨论每一种走法经过多少步遇到障碍物，注意到遇到一个障碍物时走到步数可以提前预处理，我们把所有障碍物缩到这一个 的矩阵中，那么问题就是对每一条路径，贡献是路径上的最小值
  那么我们统计每一个最小值的出现次数， 表示到 最小值为 的出现次数
  复杂度 但常数很小

#include<bits/stdc++.h>
#define cs const
using namespace std;
int read(){
  int cnt = 0, f = 1; char ch = 0;
  while(!isdigit(ch)){ ch = getchar(); if(ch == '-') f = -1; }
  while(isdigit(ch)) cnt = cnt*10 + (ch-'0'), ch = getchar();
  return cnt * f;
}
cs int Mod = 998244353;
int add(int a, int b){ return a + b >= Mod ? a + b - Mod : a + b; }
int mul(int a, int b){ return 1ll * a * b % Mod; }
void Add(int &a, int b){ a = add(a, b); }
void Mul(int &a, int b){ a = mul(a, b); }
cs int N = 60;
int gcd(int a, int b){ return !b ? a : gcd(b, a%b); }
int T, n, m, mn[N][N]; char mp[N][N];
int work(int dn, int dm){
  static int dp[N][N][N*N];
  dp[1][1][mn[1][1]]=1;
  for(int i=1; i<=dn; i++)
  for(int j=1; j<=dm; j++)
  for(int k=1; k<=n*m; k++) if(dp[i][j][k]){
    if(i+1<=dn) Add(dp[i+1][j][min(k,mn[i+1][j])],dp[i][j][k]);
    if(j+1<=dm) Add(dp[i][j+1][min(k,mn[i][j+1])],dp[i][j][k]);
  }
  int as = 0;
  for(int i=1; i<=n*m; i++) Add(as, mul(i,dp[dn][dm][i]));
  for(int i=1; i<=dn; i++) for(int j=1; j<=dm; j++)
  for(int k=1; k<=n*m; k++) dp[i][j][k]=0;
  return as;
}
void Solve(){
  n = read(), m = read();
  for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%s",mp[i]+1);
  int d = gcd(n, m), as = 0;
  for(int i = 1, j = d-1; i < d; i++, j--){
    if(gcd(i,d) == 1 && gcd(i,n) == 1 && gcd(j,m) == 1){
      for(int l = 1; l <= i+1; l++)
      for(int r = 1; r <= j+1; r++){
        int u=l, v=r, stp = l+r-2; mn[l][r] = n*m;
        while((u^l)||(v^r)||(stp==l+r-2)){
          if(mp[u][v]=='1'){ mn[l][r]=stp; break; }
          u+=i; v+=j; stp+=d; if(u>n) u-=n; if(v>m) v-=m;
        }
      }
      Add(as, work(i+1, j+1));
    }
  } cout << as << '\n';
}
int main(){
  T = read();
  while(T--) Solve();
  return 0;
}