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https://www.acwing.com/problem/content/3582/

将$1\sim n$按顺序排成一排，构成一个数列。数字$i$刚好位于位置$i$。再给定一个长度为$n$的位置序列$p_1,p_2,\dots ,p_n$，它是$1\sim n$的一种排列。接下来，我们会重复不断地对数列进行如下操作：重新排列数列中每个数的位置，将位于位置$i$的数移动至位置$p_i$。（如果$i=p_i$则该数仍移动至位置$i$）。每次操作开始时，所有数的移动同时进行，操作结束后，数列将变为一个新的$1\sim n$的排列。例如，当$n=6$并且$p=[4,6,1,3,5,2]$时，第一次操作后，数字$1$将移动至位置$4$，数字$2$将移动至位置$6$，以此类推；第二次操作后，数字$1$将移动至位置$3$，数字$2$将移动至位置$2$，以此类推。你的任务是确定从$1$到$n$的每个数字$i$，经过多少次操作后，第一次重新回到位置 i。

例如，考虑 p=[5,1,2,4,3]，数字 1 的移动轨迹如下：

第一次操作后，到达位置 5。
第二次操作后，到达位置 3。
第三次操作后，到达位置 2。
第四次操作后，回到位置 1。
所以，经过四次操作后，数字$1$第一次回到位置$1$。值得一提的是，数字$4$经过一次操作后就回到了位置$4$。

输入格式：
第一行包含整数$T$，表示共有$T$组测试数据。每组数据第一行包含整数$n$。第二行包含$n$个整数$p_1,\dots ,p_n$。

输出格式：
每组数据输出一行结果，包含$n$个整数，其中第$i$个整数表示数字$i$第一次回到位置$i$所经过的操作次数。整数之间用单个空格隔开。

数据范围：
对于$30$的数据，$1\le T\le 10$，$1\le n\le 10$。
对于$100$的数据，$1\le T\le 1000$，$1\le n\le 2\times 10^5$，$1\le p_i\le n$。
保证$p_1\sim p_n$是$1\sim n$的一种排列。
保证$\sum n\le 2\times 10^5$（一个输入中的$T$个$n$相加之和不超过$2\times 10^5$）。

根据抽象代数里的相关定理，每个置换都可以分解为若干不相交的轮换的乘积，那么每个数变换多少次回到自己相当于问其所在的轮换的元素个数，可以用并查集来做。代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 2e5 + 10;
int n;
int p[N], sz[N];

int find(int x) {
  if (x != p[x]) p[x] = find(p[x]);
  return p[x];
}

int main() {
  int T;
  scanf("%d", &T);
  while (T--) {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      p[i] = i;
      sz[i] = 1;
    }

    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      int x;
      scanf("%d", &x);
      int pi = find(i), px = find(x);
      if (pi != px) {
        p[pi] = px;
        sz[px] += sz[pi];
      }
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", sz[find(i)]);
    puts("");
  }
}

每组数据时间复杂度$O(n{\log }^{\ast }n)$，空间$O(n)$。