dp2:线性dp

线性dp
  动态规划时间复杂度分析，状态数目与状态转移次数相乘。

数字三角形

数字三角形
以集合的观点考虑dp问题。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 510;
int n,ans;
int a[maxn][maxn],f[maxn][maxn];
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=0;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<= n+1;j++)
         f[i][j] = 0x3f3f3f3f * -1; //初始化f处理边界问题
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }
    f[1][1] = a[1][1];
    for(int i=2;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            f[i][j] = max(f[i-1][j-1]+a[i][j],f[i-1][j]+a[i][j]);
        }
    }
    ans = -1 * 0x3f3f3f3f; //第n层找最优
    for(int i=1;i<=n;i++) ans = max(ans, f[n][i]);
    cout<<ans;
    return 0;
}

时间复杂度，总共n²个状态，对于每个状态转移计算一次，复杂度为n².

最长上升子序列

最长上升子序列
以集合的观点分析。对于状态而言，一般从低维到高维考虑。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn = 1010;
int n,a[maxn],f[maxn];
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i] = 1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            if(a[j]>=a[i]) continue;
            f[i] = max(f[i],f[j] + 1);
        }
    }
    int ans = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ans = max(ans,f[i]);
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

时间复杂度分析，状态数量为n，每次状态转移计算n次。复杂度为n².