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3.1 关于半鞅的随机积分(Ren)

七公子706 2022-02-09 阅读 107

3.1 关于半鞅的随机积分(Ren)

X = M + A X=M+A X=M+A,其中 M ∈ M l o c , A ∈ V M \in M^ {loc} ,A \in V MMloc,AV, H H H为可选过程,则定义过程 Y : = H ⋅ X Y:=H \cdot X Y:=HX
Y t : = ( H ⋅ X ) t : = ∫ 0 t H s d X s : = ∫ 0 t H s d M s + ∫ 0 t H s d A s Y_ {t} :=(H \cdot X)_t:= \int _ {0}^ {t} H_ {s} dX_ {s} := \int _ {0}^ {t} H_ {s} dM_ {s} + \int _ {0}^ {t} H_ {s} dA_ {s} Yt:=(HX)t:=0tHsdXs:=0tHsdMs+0tHsdAs
如果右边的两个积分都存在的话.

关于半鞅的随机积分=关于有界变差的随机积分+关于局部鞅的随机积分

1. 随机Stieltjes积分(关于有界变差的随机积分)

随机Stieltjes积分:把 ω \omega ω当作参数,固定 ω \omega ω后做Lebsgue-Stieltjes积分

1.1 有限变差过程

  • 有限变差过程&增过程的定义
  • 有限变差过程是两个增过程之差

1.2 随机Stieltjes积分

随机Stieltjes积分定义:由测度论, ∀ ω \forall \omega ω , A ( , ω ) A(, \omega ) A(,ω)产生一个Lebesgue-Stieltjes测度 μ A ( ω ) \mu _ {A(\omega )} μA(ω)。对任意非负过程 H H H,只要 ∀ ω , t → f ( t , ω ) \forall \omega ,t\rightarrow f(t, \omega ) ω,tf(t,ω)为Borel可测,就可逐 ω \omega ω定义
∫ 0 t f s d A s : = ∫ 0 t f s μ A ( d s ) \int _ {0}^ {t} f_ {s} dA_ {s} := \int _ {0}^ {t} f_ {s} \mu _ {A} (ds) 0tfsdAs:=0tfsμA(ds)
因为 μ A \mu _ {A} μA 在单点集上的负荷为零,所以这里 ∫ 0 t \int _ {0}^ {t} 0t 理解为 ∫ [ 0 , T ) \int _ {[0,T)} [0,T) 还是 ∫ [ 0 , T ] \int _ {[0,T]} [0,T]是无所谓的。这个过程记为 H ⋅ A H \cdot A HA.

2. 关于局部鞅的随机积分

之所以可以定义循序可测过程对Brown运动的随机积分, 关键是其保范性质, 而这个保范性质的建立, 是建立的Brown运动具有独立增量的基础之上的.但仔细检查一下证明,那里真正需要的其实并不是“独立增量”这么强的性质, 而只要 w 2 − t w^ {2}-t w2t 为鞅就足够了。这就给推广随机积分带来了希望, 因为对一般的平方可积鞅 M M M M 2 − [ M ] M^ {2}-[M] M2[M] 也是鞅.

基本思路

  • 简单过程关于鞅的随机积分的定义,简单过程关于鞅的随机积分是线性的,是关于t是连续的平方可积鞅,具有等距性 E [ I ( f ) 2 ] = E ∫ 0 T [ f 2 ( t ) ] d t E[I(f)^2]=E\int_0^T[f^2(t)]dt E[I(f)2]=E0T[f2(t)]dt线性等距算子);
  • 简单过程构成的空间在可积函数构成的空间 L 2 \mathscr{L}_2 L2中是稠密的
  • 根据1和2可得:可积过程 L 2 \mathscr{L}_2 L2关于鞅随机积分 L 2 L^2 L2意义下有定义
  • 关于局部鞅的随机积分
  • 简单过程关于鞅的随机积分的定义
  • 简单过程关于鞅的随机积分具有等距性

  • 可积函数类 L 2 \mathscr{L}_2 L2
  • L = L 2 ( μ M ) \mathscr{L}=L^2(\mu_M) L=L2(μM)
  • 简单过程构成的空间在 L \mathscr{L} L中是稠密的



  • 可积过程 L \mathscr{L} L关于鞅的随机积分
  • 可积过程 L \mathscr{L} L关于鞅的随机积分的性质:平方变差&局部性
  1. 由第二个性质可得识别随机积分的方法
  2. 由命题7.4.3可得
  3. 随机积分的估计

M ∈ M 2 l o c , σ n M \in \mathscr{M}_ {2}^ {loc} ,{ \sigma _ {n} } MM2loc,σn 为其局部化停时列.令
[ M ] t : = [ M σ n ] t , ( t , ω ) ∈ [ 0 , σ n ] [M]_ {t} :=[ M^{\sigma_n}]_t,(t, \omega ) \in [0,\sigma _ {n}] [M]t:=[Mσn]t,(t,ω)[0,σn]
以及
L 2 l o c ( M ) : = { H : ∫ 0 T H 2 d [ M ] t < ∞ , a s } \mathscr{L}^{loc}_ {2}(M):=\{H: \int _ {0}^ {T} H^ {2}d [M]_{t} < \infty, as\} L2loc(M):={H:0TH2d[M]t<,as}
∀ H ∈ L 2 l o c \forall H \in \mathscr{L}^{loc}_ {2} HL2loc ,存在局部化停时列 { τ n } \{ \tau_ {n} \} {τn}使得
E [ ∫ 0 τ n H 2 d [ M ] ] < ∞ , ∀ n E[ \int _ {0}^ {\tau_n} H^ {2} d[M]]< \infty , \forall n E[0τnH2d[M]]<,n

M n : = M σ n , H n ( t , ω ) : = H 1 [ 0 , n + 1 ] . M_ {n}:= M^{\sigma_n}, H_ {n} (t,\omega ):=H1_ {[0,n+1]}. Mn:=Mσn,Hn(t,ω):=H1[0,n+1].
在$[0, \sigma _ {n} \wedge \tau _ {n} ] $上,令
M ( t ) : = H n ⋅ M n M(t):= H_ {n} \cdot M_ {n} M(t):=HnMn
易证这个定义是没有歧义的. H ⋅ M H\cdot M HM称为 H H H M M M的随机积分.
我们也常常将$H \cdot M $写成积分的形式,即
H ⋅ M ( t ) = ∫ 0 t H s d M s H \cdot M(t)= \int _ {0}^ {t} H_ {s} dM_ {s} HM(t)=0tHsdMs
利用局部化停时列过渡, 关于鞅的随机积分除了要取期望的之外, 均可以推广到
关于局部鞅的随机积分。

3. 关于半鞅的随机积分

3.1 关于半鞅的随机积分

X = M + A X=M+A X=M+A,其中 M ∈ M l o c , A ∈ V M \in M^ {loc} ,A \in V MMloc,AV, H H H为可选过程,则定义过程 Y : = H ⋅ X Y:=H \cdot X Y:=HX
Y t : = ( H ⋅ X ) t : = ∫ 0 t H s d X s : = ∫ 0 t H s d M s + ∫ 0 t H s d A s Y_ {t} :=(H \cdot X)_t:= \int _ {0}^ {t} H_ {s} dX_ {s} := \int _ {0}^ {t} H_ {s} dM_ {s} + \int _ {0}^ {t} H_ {s} dA_ {s} Yt:=(HX)t:=0tHsdXs:=0tHsdMs+0tHsdAs
如果右边的两个积分都存在的话.

  1. 右边的两个积分都存在的条件:这两个积分存在的条件下不相同, 所以要提出一个公共的条件使它们都存在是比较麻烦的, 但有一些简单的充分条件保证它们都存在, 比如说H是连续过程时就是如此.
  2. 由于这两部分性质差异较大, 把它们分开看待而不是看作一个整体往往更方便一些。

3.2 半鞅的随机微分

  • 半鞅的随机微分定义

  • 半鞅的随机微分满足的条件

  • 由命题7.4.3可得命题7.6.1


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