【算法题归纳合集】图论-Floyd算法及其扩展应用-CFANZ编程社区

一、AcWing 1125. 牛的旅行

【题目描述】
农民John的农场里有很多牧区，有的路径连接一些特定的牧区。
一片所有连通的牧区称为一个牧场。
但是就目前而言，你能看到至少有两个牧区不连通。
现在，John想在农场里添加一条路径（注意，恰好一条）。
一个牧场的直径就是牧场中最远的两个牧区的距离（本题中所提到的所有距离指的都是最短的距离）。
考虑如下的两个牧场，每一个牧区都有自己的坐标：

在这里插入图片描述

图 $1$ 是有 $5$ 个牧区的牧场，牧区用*表示，路径用直线表示。
图 $1$ 所示的牧场的直径大约是 $12.07106$ ，最远的两个牧区是 $A$ 和 $E$ ，它们之间的最短路径是 $A - B - E$ 。
图 $2$ 是另一个牧场。
这两个牧场都在John的农场上。
John将会在两个牧场中各选一个牧区，然后用一条路径连起来，使得连通后这个新的更大的牧场有最小的直径。
注意，如果两条路径中途相交，我们不认为它们是连通的。
只有两条路径在同一个牧区相交，我们才认为它们是连通的。
现在请你编程找出一条连接两个不同牧场的路径，使得连上这条路径后，所有牧场（生成的新牧场和原有牧场）中直径最大的牧场的直径尽可能小。
输出这个直径最小可能值。

【输入格式】
第 $1$ 行：一个整数 $N$ ，表示牧区数；
第 $2$ 到 $N + 1$ 行：每行两个整数 $X, Y$ ，表示 $N$ 个牧区的坐标。每个牧区的坐标都是不一样的。
第 $N + 2$ 行到第 $2 * N + 1$ 行：每行包括 $N$ 个数字（ $0$ 或 $1$ ）表示一个对称邻接矩阵。
例如，题目描述中的两个牧场的矩阵描述如下：

  A B C D E F G H 
A 0 1 0 0 0 0 0 0 
B 1 0 1 1 1 0 0 0 
C 0 1 0 0 1 0 0 0 
D 0 1 0 0 1 0 0 0 
E 0 1 1 1 0 0 0 0 
F 0 0 0 0 0 0 1 0 
G 0 0 0 0 0 1 0 1 
H 0 0 0 0 0 0 1 0

输入数据中至少包括两个不连通的牧区。

【输出格式】
只有一行，包括一个实数，表示所求答案。
数字保留六位小数。

【数据范围】
$1 \leq N \leq 150$
$0 \leq X, Y \leq 105$
【输入样例】

【输出样例】

22.071068

【分析】

首先，用Floyd算法求出任意两点之间的最短距离 $d i s [i] [j]$ ，使用数组 $m a x d [i]$ 表示表示和 $i$ 连通且距离 $i$ 最远的点的距离，对于加边后图的直径有如下两种情况：

$r e s$ 为所有 $m a x d [i]$ 中的最大值，即在某两个非连通块之间加边后形成的新连通块的直径没有原先其它某个连通块的直径大；
枚举在哪两个点之间加边， $i, j$ 满足 $\ge INF$ ，即 $i, j$ 不连通，加边后形成的新的连通块直径为 $m a x d [i] + m a x d [j] + i 与 j 之间的距离$ ， $r e s$ 即为加边的所有情况中的最小值。

【代码】

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;
const int N = 160;
const double INF = 1e20;
char g[N][N];
double dis[N][N], maxd[N];//maxd[i]表示和i连通且距离i最远的点的距离
PII q[N];
int n;

//求两点间距离
double get_dist(PII u, PII v)
{
    return sqrt(pow(u.first - v.first, 2) + pow(u.second - v.second, 2));
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> q[i].first >> q[i].second;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++)
        {
            cin >> g[i][j];
            if (i != j)
                if (g[i][j] == '1') dis[i][j] = get_dist(q[i], q[j]);
                else dis[i][j] = INF;
        }
    //Floyd算法求出任意两点间的距离
    for (int k = 0; k < n; k++)
        for (int i = 0; i < n; i++)
            for (int j = 0; j < n; j++)
                dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);
    //求出maxd数组
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++)
            if (dis[i][j] < INF) maxd[i] = max(maxd[i], dis[i][j]);
    double res = INF;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++)
            if (dis[i][j] >= INF)//判断在不连通的两点间加边的情况
                res = min(res, maxd[i] + maxd[j] + get_dist(q[i], q[j]));
    for (int i = 0; i < n; i++) res = max(res, maxd[i]);//判断每个连通块的直径是否比加边更大
    printf("%lf\n", res);
    return 0;
}