1. 若 p 为质数，且 (a,p) = 1 ，那么 $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ ；若 a 是 p 的倍数，那么 $a^{p-1}\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ 将导致出错 。

应用：求逆元 （前提是互质），0 没有逆元 。（要分类讨论）

例子：CF185D Visit of the Great

顺便复习一下 欧拉定理 ：

1. 若 (a,p) =1 ，那么 $a^{\varphi (p)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$
2. 一般地，若 a, p 不互质，那么可以用 扩展欧拉定理 求解 （前提是 指数 >$\varphi (p)$）

例子：CF17D Notepad

（鸡贼恶心的分类讨论 233

当然，对于边界的处理也是从简单情形入手，最后再来解决一般情形，不能本末倒置。

关于同余式的构造

考虑 $d=\gcd (k^{2^x}+1,k^{2^y}+1)$ （x > y），d = 1 或 2 ?

关于这种高次幂 how to deal ?

考察 $k^{2^x}\equiv k^{2^y}\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}d)$

$(k^{2^y}{)}^{2^{x-y}}\equiv (-1{)}^{2^{x-y}}\equiv 1\equiv k^{2^x}\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}d)$ ???

=> d = 1 或 2

谢谢 ！