错排公式的证明

给出递推式：

证明：
用信装错信封的问题来解释
设为个信封，为封信，把每封信都装错的方案数记为
假设现在已经将信错装进信封，那么会出现下面两种情况
（1）将信放进信封中。在这种情况下，剩下的部分每种都装错与无关，所以剩下的子问题可以看做将封信错装进个信封中，也就是
（2）将信放进除之外的个信封中。这时的装信工作实际是把除之外的封信装入除以外的个信封中，即这时的方案数为
总之在装入的错误之下，总共有种错装法，装入的种错误之下同理，所以