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错排公式的容斥推导


问题提出:n封不同的信对应n个不同的信箱,问都装错信封的方法有多少种?

 

 

分析:我们都知道,错排公式的递推式为:

错排公式的容斥推导_容斥原理

,其中

错排公式的容斥推导_容斥原理_02

 

而进一步可以得到:

错排公式的容斥推导_错排公式_03

 

那么它是如何推导出来的呢?下面就用容斥原理来进行分析:

 

 

首先,我们令S为自然数1,2,3,4,...n的全排列的全体,则

错排公式的容斥推导_错排公式_04

 

然后我们定义S性质上的集合

错排公式的容斥推导_全排列_05

,其中

错排公式的容斥推导_错排公式_06

表示排列中i在其自然顺序的位置上,令

错排公式的容斥推导_错排公式_07

为S中满足性质

错排公式的容斥推导_容斥原理_08

的全

 

排列的集合,所以对于

错排公式的容斥推导_全排列_09

来说,有

错排公式的容斥推导_容斥原理_10

,其中i是固定不动的,其他的数就是1,2,...i-1,i+1,...n的

 

全排列,所以有

错排公式的容斥推导_全排列_11

 

同样的道理有:

错排公式的容斥推导_错排公式_12

,其中

错排公式的容斥推导_全排列_13

 

一般情况就是:

错排公式的容斥推导_容斥原理_14

,其中下标两两不相同。

 

 

所以然后就是直接用容斥原理:

 

错排公式的容斥推导_容斥原理_15

 

所以到了这里就推导完毕了。

 

 

 

应用一:确定{1,2,…,n}的恰有k个整数在它们的自然位置上的排列数。

 

这个问题的分析方法跟上面的一样,上面已经给出了一般情况的公式,所以很明显有n-k个数不再它原来的位置上。然后容斥就

可以了。

 

应用二:确定{1,2,3,4,5,6,7,8}的没有偶数在它的自然位置上的排列数。

 

分析:同样的道理,用总的数减去有偶数在它原来排列的位置上就行了,当然这就包括有一个偶数在原来排列位置上,有两

个,三个。。。等等,然后容斥就行了。

 

 

 

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