【省选模拟】Fac （生成函数）（组合意义）（拉格朗日反演）（倍增）（多项式全家桶）

​​传送门​​

• 没有题解是真的秀，连蒙带猜搞了一天结果今天早上才写完，不过还好有 3 个神仙学长助力
  不知道题解是怎么想到的，所以只好直接说结论了
• 经观察发现可以先求出，这个在 的时候是卡特兰数也就是二叉树的个数
  考虑将其扩展为 叉树，即证 是
• 证明：
  
  中间用到了拉格朗日反演
  后面的一个是 ，所以组合意义是 ，令 ，即可得方案数为
  也同时证明了 个点的 叉树（有根无标号儿子有顺序）的个数是
• 于是问题就变成了解
  这个是可以倍增的，假设已经求得
  考虑扩展到
  我们只需要求出 的系数，不妨令为 ，我们用 表示新的
  考虑前一半的贡献， 在 是有贡献的，不妨令为
  而 对 的贡献只会有一个 选到 ，故可以列出方程
  
  解出即可，倍增算贡献还是比较巧妙
  ​​，最慢的点跑了