Codeforces Round 641 F2. Slime and Sequences （生成函数）（拉格朗日反演）

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• 注意到好的序列到一个排列是一个双射，在序列上的数 等于 前方的小于号个数加一，其中小于号指的是相邻两个数的大小关系，下面我们对这个排列进行计数
• 表示长度为 至少 个 的个数，恰为斯特林数 ，每一组内钦定递增
  表示正好 个 的个数（可以 简单 ）

• 考虑每个数的贡献，钦定它前面有 个
  
• 考虑快速求出
• 考虑对每个 求出（ ，）
  
  构造 使得 ，则
  聪明的你们肯定看出构造的用意了，令 ，拉个朗日反演
  令
  

• ，

#include<bits/stdc++.h>
#define pb push_back
#define cs const
#define poly vector<int>
using namespace std;
cs int Mod = 998244353;
int add(int a, int b){ return a + b >= Mod ? a + b - Mod : a + b; }
int dec(int a, int b){ return a - b < 0 ? a - b + Mod : a - b; }
int mul(int a, int b){ return 1ll * a * b % Mod; }
int ksm(int a, int b){ int as=1; for(;b;b>>=1,a=mul(a,a)) if(b&1) as=mul(as,a); return as; }
void Add(int &a, int b){ a = add(a, b); }
void Dec(int &a, int b){ a = dec(a, b); }
void Mul(int &a, int b){ a = mul(a, b); }
cs int K = 18, N = 1 << K | 5;
int n, fc[N], ifc[N], iv[N];
int *w[K+1], rv[N], bit, up;
void output(poly a){ for(int i=0; i<a.size(); i++) cout<<a[i]<<" "; puts(""); }
void fc_init(int n){
  fc[0]=fc[1]=ifc[0]=ifc[1]=1;
  for(int i=2; i<=n; i++) fc[i]=mul(fc[i-1],i);
  for(int i=2; i<=n; i++) ifc[i]=mul(ifc[i-1],iv[i]);
}
void NTT_init(){
  for(int i=1; i<=K; i++) w[i]=new int[1<<(i-1)];
  int wn=ksm(3,(Mod-1)/(1<<K)); w[K][0]=1;
  for(int i=1; i<(1<<(K-1)); i++) w[K][i]=mul(w[K][i-1],wn);
  for(int i=K-1;i;i--) for(int j=0;j<(1<<(i-1));j++) w[i][j]=w[i+1][j<<1]; 
  iv[0]=iv[1]=1; for(int i=2; i<=(1<<K); i++) iv[i]=mul(Mod-Mod/i,iv[Mod%i]);
} 
void init(int deg){
  up=1; bit=0; while(up<deg) up<<=1,++bit; 
  for(int i=0; i<up; i++) rv[i]=(rv[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
}
poly operator - (poly a, poly b){
  if(a.size()<b.size()) a.resize(b.size());
  for(int i=0; i<(int)b.size(); i++) Dec(a[i],b[i]); return a;
}
poly divx(poly a){
  for(int i=0; i<(int)a.size(); i++) a[i]=a[i+1];
  return a.pop_back(), a;
}
void NTT(poly &a, int typ=1){
  for(int i=0; i<up; i++) if(i<rv[i]) swap(a[i],a[rv[i]]);
  for(int i=1,l=1;i<up;i<<=1,++l)
  for(int j=0; j<up; j+=(i<<1))
  for(int k=0; k<i; k++){
    int x=a[k+j], y=mul(w[l][k],a[k+j+i]);
    a[k+j]=add(x,y); a[k+j+i]=dec(x,y);
  } if(typ==-1){
    reverse(a.begin()+1,a.end());
    for(int i=0,iv=ksm(up,Mod-2); i<up; i++) Mul(a[i],iv);
  }
}
poly operator * (poly a, poly b){
  int dg=a.size()+b.size()-1; 
  if(a.size()<=32||b.size()<=32){
    poly c(dg,0);
    for(int i=0; i<(int)a.size(); i++)
    for(int j=0; j<(int)b.size(); j++)
    Add(c[i+j],mul(a[i],b[j])); return c;
  } init(dg); a.resize(up); b.resize(up); NTT(a); NTT(b);
  for(int i=0; i<up; i++) Mul(a[i],b[i]); 
  NTT(a,-1); a.resize(dg); return a;
}
poly inv(poly a, int deg){
  poly b(1,ksm(a[0],Mod-2)),c;
  for(int lim=2; (lim>>1)<deg; lim<<=1){
    c.resize(lim); init(lim<<1);
    for(int i=0; i<lim; i++) c[i]=i<(int)a.size()?a[i]:0;
    c.resize(up); b.resize(up); NTT(c); NTT(b);
    for(int i=0; i<up; i++) Mul(b[i],dec(2,mul(b[i],c[i])));
    NTT(b,-1); b.resize(lim); 
  } b.resize(deg); return b;
}
poly deriv(poly a){
  for(int i=0; i+1<(int)a.size(); i++) a[i]=mul(i+1,a[i+1]);
  a.pop_back(); return a;
}
poly integ(poly a){
  a.pb(0);
  for(int i=a.size()-1;i;i--) a[i]=mul(iv[i],a[i-1]);
  a[0]=0; return a;
}
poly ln(poly a, int dg){
  if(dg==-1) dg=a.size();
  a=integ(deriv(a)*inv(a,dg)); a.resize(dg); return a;
}
poly Exp(poly a, int dg){
  if(dg==-1) dg = a.size(); poly b(1,1), c;
  for(int lim=2; lim<(dg<<1); lim<<=1){
    c=ln(b,lim); Dec(c[0],1);
    for(int i=0; i<lim; i++) c[i]=dec(i<(int)a.size()?a[i]:0,c[i]);
    b=b*c; b.resize(lim);
  } b.resize(dg); return b;
}
poly polypw(poly a, int k, int dg){ 
  a = ln(a,dg); 
  for(int i=0; i<(int)a.size(); i++) Mul(a[i],k);
  return Exp(a,dg);
}
int main(){
  #ifdef FSYolanda
  freopen("1.in","r",stdin);
  #endif
  scanf("%d",&n); NTT_init(); fc_init(n+5);
  poly phi(2,1); phi = ln(phi,n+3); phi = inv(divx(phi),n+3);
  poly t = poly(1,1) - phi; 
  t = inv(divx(t),n+3); poly tt = t * t; tt.resize(n+3);
  poly mt = polypw(phi,n+1,n+3), dt = deriv(phi);
  t = mt * t; tt = mt * tt; t.resize(n+3); tt.resize(n+3);
  tt = tt * dt; tt.resize(n+3);
  poly em(n+3,0);
  for(int i=0; i<=n+2; i++) em[i]=ifc[i+1];
  em=em*inv(divx(poly(1,1)-em),n+3);
  poly f(n+1,0);
  for(int i=0,iv=ksm(n+1,Mod-2); i<n; i++){
    f[i] = mul(iv,add(mul(t[i+1],n-i+1), tt[i+1]));
    f[i] = dec(em[i+1],f[i]); Mul(f[i],fc[i]);
  } poly g(n,0);
  for(int i=0; i<n; i++) g[i]=(i&1)?dec(0,ifc[i]):ifc[i];
  reverse(g.begin(),g.end()); g = g * f;
  for(int i=0; i<n; i++) cout<<mul(ifc[i],mul(fc[n],g[i+n-1]))<<" ";
  return 0; 
}