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膜拜大佬文章：tarjan算法原理介绍_zakheav的博客-CSDN博客_tarjan算法证明

关于tarjan的正确性证明已经困恼了我好久今天下定决心去深究原理。

看到大佬的文章感觉茅塞顿开特此记录下来

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因为个人能力有限不适合初学者看仅作为理解tarjan的一份想法；（非教学不保真）

//仅仅代表我的看法不保真欢迎大家讨论；

Tarjan的简单回顾：

Tarjan 是一个O(n+m)求取强连通分量的算法

常用于：缩点割点和桥；

实现代码如下

/*
dfn->第一次出现的时间戳；

low->从该节点的根节点到此节点中 出现过的最小时间戳（有点复杂我重点说）

st->储存节点信息的栈

visstack->记录此点是否出在栈中

col->标记点的信息（染色）

collib-> 储存每个强连通分量都有哪些点
*/


void tarjan(int x){
    dfn[x] = low[x] = ++ccnt;
    st.push(x);
    visstack[x] = 1;
    for (int  i = head[x]; i;i=edge[i].nt){
        long long v = edge[i].to;
        if(!dfn[v]){
            tarjan(v);
            low[x] = min(low[x], low[v]);
        }else if (visstack[v]){
            low[x] = min(low[x], dfn[v]);
        }
    }
    if(dfn[x] == low[x]){
        int tot;
        ++colid;
        do{
            tot = st.top();
            st.pop();
            visstack[tot] = 0;
            col[tot] = colid;
            collib[colid].push_back(tot);
        } while (x != tot);
    }
}

问题一：low的问题：

为什么我们强调一定是要从根节点到该节点（这条路径上）已经出现过的 low值的最小值？也就是说为什么我们一定要强调 else if（visstack【v】）呢

    if(!dfn[v]){
        tarjan(v);
        low[x] = min(low[x], low[v]);
    }else if (visstack[v]){ //这里就是 精华部分
        low[x] = min(low[x], dfn[v]);
    }

part1：

首先我们先证明 else if（visstack【v】）对于保证low始终是从根节点到该节点（这条路径上）已经出现过的 low值的最小值的有效性

最小值自然不用证明，所以我们的证明义务就是在栈中和从根节点到该节点的关联性

为什么只需要在节点进行tarjan的时候去判断该点是否位于栈中即可？或者说为什么想要拓展的节点不位于栈中就证明想要拓展的节点一定不在根节点到该节点的路径上

既 想要拓展的节点不位于栈中就证明想要拓展的节点一定不在根节点到该节点的任何一条路径上

既 想要拓展的节点一定无法到达我们此时的节点u；

part2：

我们强调一定是要从根节点到该节点（这条路径上）已经出现过的 low值的最小值的目的是什么呢；

那么首先我们就要讨论维护low值的作用：两个点可以相互到达 <==> 被弹出时两个点的low值相等

由上一个结果我们可知 low相等的节点一定位于同一强连通分量

之后我们在讨论为什么维护从根节点到该节点（这条路径上）已经出现过的 low值的最小值而其他路径上的既已经被弹出了的点的low值无法对该节点更新；

这就有关于我们维护的堆栈弹出临界条件；

我们给出例子：

如图 2->4已经被弹出了但是 2之后又拓展到了7 7->4 ;

我们的矛盾点就是现在要不要由4去更新7的low值

我们观察我们的代码

if(dfn[x] == low[x]){
        int tot;
        ++colid;
        do{
            tot = st.top();
            st.pop();
            visstack[tot] = 0;
            col[tot] = colid;
            collib[colid].push_back(tot);
        } while (x != tot);
    }

我们的弹出阶段是由发现即将无法在拓展的点的dfn 和 low相等开始；之后把他的所有剩余子叶弹干净和自己弹出每一个开始阶段的前置就是堆栈中不存在其他的 dfn和low相等的点了（因为在其无法拓展进行判断之前之前的所有节点均进行过无法拓展的判断了）而如果我们此时的 7节点被已经弹出的 4 节点更新了low 我们会发先 7 6 无法被正常弹出划分到了下一个强连通分量内自然会出错所以我们需要保证low没有被其他弹出的子块干扰；